Степени чисел

Что такое степень числа

Степень числа — математическая операция, обозначающая многократное умножение числа на себя. Записывается в виде aⁿ, где a — основание степени (число, которое умножаем), n — показатель степени (количество умножений). Например, 3⁴ читается как «три в четвёртой степени» и означает 3 × 3 × 3 × 3 = 81.

Операция возведения в степень применяется в алгебре, физике, экономике, программировании и инженерных расчётах. Степени позволяют компактно записывать большие числа и выполнять сложные вычисления, такие как рост инвестиций, радиоактивный распад, площадь и объём фигур.

Калькулятор степеней автоматизирует расчёты для любых чисел — целых, десятичных, отрицательных, дробных показателей — и экономит время на вычислениях вручную.

Основные правила возведения в степень

Целые положительные степени

Если показатель степени — натуральное число (1, 2, 3…), основание умножается само на себя n раз:

• a¹ = a (любое число в первой степени равно самому себе)
• a² = a × a (вторая степень — квадрат)
• a³ = a × a × a (третья степень — куб)
• aⁿ = a × a × … × a (n раз)

Пример: 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.

Нулевая степень

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице:

a⁰ = 1 (при a ≠ 0)

Пример: 7⁰ = 1, (-4)⁰ = 1, (0,5)⁰ = 1.

Исключение: 0⁰ не определено и считается математической неопределённостью.

Отрицательные степени

Отрицательная степень означает деление единицы на число в положительной степени:

a⁻ⁿ = 1 / aⁿ

Пример: 2⁻³ = 1 / 2³ = 1 / 8 = 0,125.

Отрицательная степень переворачивает дробь: (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4 = 2,25.

Дробные степени

Дробная степень связана с операцией извлечения корня:

a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)

Числитель дроби — степень возведения, знаменатель — корень.

Пример: 16^(3/4) = ⁴√(16³) = ⁴√4096 = 8.

Альтернативная запись: 16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8.

Возведение отрицательных чисел

Для целых показателей:

• Чётная степень отрицательного числа даёт положительный результат: (-3)² = 9, (-2)⁴ = 16.
• Нечётная степень отрицательного числа даёт отрицательный результат: (-3)³ = -27, (-2)⁵ = -32.

Для дробных показателей отрицательных чисел результат часто комплексный (содержит мнимую единицу), такие операции выполняются в расширенной системе чисел.

Формулы и свойства степеней

Умножение степеней с одинаковым основанием

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

aⁿ × aᵐ = a^(n+m)

Пример: 2³ × 2⁵ = 2^(3+5) = 2⁸ = 256.

Деление степеней с одинаковым основанием

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

aⁿ / aᵐ = a^(n−m)

Пример: 5⁷ / 5⁴ = 5^(7−4) = 5³ = 125.

Возведение степени в степень

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

(aⁿ)ᵐ = a^(n×m)

Пример: (3²)⁴ = 3^(2×4) = 3⁸ = 6561.

Степень произведения

Степень произведения равна произведению степеней:

(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ

Пример: (2 × 5)³ = 2³ × 5³ = 8 × 125 = 1000.

Степень дроби

Степень дроби равна дроби степеней:

(a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ

Пример: (3/4)² = 3² / 4² = 9/16.

Как пользоваться калькулятором степеней

Калькулятор выполняет возведение в степень за три шага:

1. Введите основание — число, которое возводите в степень (целое, десятичное, положительное или отрицательное).
2. Введите показатель степени — целое, дробное, положительное или отрицательное число.
3. Нажмите «Рассчитать» — калькулятор мгновенно выдаст результат.

Калькулятор поддерживает:

• Целые степени: 2¹⁰, 5³, 100⁵
• Отрицательные степени: 2⁻⁴, 10⁻²
• Дробные степени: 8^(1/3), 27^(2/3)
• Большие числа: 10¹⁵, 2⁶⁴
• Десятичные основания: 1,5², 0,25³

Примеры расчёта степеней

Пример 1: Целая положительная степень

Задача: Вычислить 7⁴.

Решение:

7⁴ = 7 × 7 × 7 × 7 = 2401

Ответ: 2401.

Пример 2: Отрицательная степень

Задача: Вычислить 5⁻³.

Решение:

5⁻³ = 1 / 5³ = 1 / 125 = 0,008

Ответ: 0,008.

Пример 3: Дробная степень

Задача: Вычислить 27^(2/3).

Решение:

27^(2/3) = ³√(27²) = ³√729 = 9

Или: 27^(2/3) = (³√27)² = 3² = 9

Ответ: 9.

Пример 4: Отрицательное основание

Задача: Вычислить (-4)³ и (-4)⁴.

Решение:

(-4)³ = (-4) × (-4) × (-4) = -64 (нечётная степень — результат отрицательный)

(-4)⁴ = (-4) × (-4) × (-4) × (-4) = 256 (чётная степень — результат положительный)

Ответ: (-4)³ = -64, (-4)⁴ = 256.

Пример 5: Нулевая степень

Задача: Вычислить 123⁰.

Решение:

Любое число в нулевой степени равно 1.

Ответ: 1.

Пример 6: Десятичное основание

Задача: Вычислить (1,5)³.

Решение:

(1,5)³ = 1,5 × 1,5 × 1,5 = 3,375

Ответ: 3,375.

Применение степеней в реальных задачах

Финансы и сложный процент

Формула сложного процента использует степени для расчёта роста капитала:

S = P × (1 + r)ⁿ

где P — начальная сумма, r — процентная ставка, n — количество периодов.

Пример: вклад 100 000 ₽ под 10% годовых на 5 лет:

S = 100 000 × (1 + 0,1)⁵ = 100 000 × 1,61051 ≈ 161 051 ₽.

Физика и экспоненциальный рост

Радиоактивный распад, рост популяции, охлаждение тела описываются экспоненциальными функциями со степенями:

N(t) = N₀ × e^(−λt)

где N₀ — начальное количество, λ — константа распада, t — время, e ≈ 2,718 (число Эйлера).

Геометрия

Площадь квадрата: S = a², объём куба: V = a³.

Пример: сторона квадрата 5 см, площадь = 5² = 25 см².

Информатика

Степени двойки применяются в вычислительной технике для объёма памяти и адресации:

• 2¹⁰ = 1024 байта = 1 КБ
• 2²⁰ = 1 048 576 байт = 1 МБ
• 2³⁰ = 1 073 741 824 байт = 1 ГБ

Научная нотация

Большие и малые числа записываются через степени десяти:

• Скорость света: 3 × 10⁸ м/с
• Масса электрона: 9,1 × 10⁻³¹ кг

Ошибки при работе со степенями

Ошибка 1: Путаница при отрицательном основании

Неверно: -2² = 4

Верно: -2² = -(2²) = -4, но (-2)² = 4.

Минус перед числом без скобок не возводится в степень.

Ошибка 2: Сложение показателей при умножении разных оснований

Неверно: 2³ × 3² = 6⁵

Верно: 2³ × 3² = 8 × 9 = 72.

Складывать показатели можно только при одинаковых основаниях.

Ошибка 3: Неверное применение формулы степени произведения

Неверно: (2 + 3)² = 2² + 3²

Верно: (2 + 3)² = 5² = 25, а 2² + 3² = 4 + 9 = 13.

Формула (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ работает только для умножения, не для сложения.

Ошибка 4: Путаница с отрицательными степенями

Неверно: 2⁻³ = -8

Верно: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125.

Отрицательная степень — это дробь, а не отрицательное число.

Особые случаи и ограничения

Деление на ноль

Выражение a⁰ (при a ≠ 0) равно 1, но 0⁰ не определено. Также 0⁻ⁿ (отрицательная степень нуля) не существует, так как требует деления на ноль.

Корни из отрицательных чисел

Для чётных корней (квадратный, четвёртый) из отрицательных чисел результат комплексный:

√(-4) не определён в действительных числах, но в комплексных √(-4) = 2i.

Для нечётных корней (кубический) результат действительный:

³√(-8) = -2.

Очень большие степени

Для степеней вида 10¹⁰⁰ (гугол) или 2¹⁰⁰⁰ результат становится астрономически большим. Калькуляторы могут использовать научную нотацию или выдавать приближённые значения с ограниченной точностью.

Дробные показатели и точность

Для дробных степеней вроде 2^(√2) результат иррациональный (не выражается конечной дробью). Калькулятор выдаёт приближённое значение с заданной точностью.

Советы по использованию калькулятора

1. Для дробных степеней вводите показатель как десятичную дробь (например, 0,5 вместо 1/2) или используйте деление (1/3 ≈ 0,333…).
2. Для отрицательных оснований заключайте число в скобки, если калькулятор требует.
3. Проверяйте порядок операций: сначала возводится в степень, потом умножение/деление, затем сложение/вычитание.
4. При больших числах используйте научную нотацию: 2 × 10⁶ вместо 2000000.
5. Сравнивайте с оценочным расчётом: например, 5³ чуть больше 100 (125), что помогает отловить ошибку ввода.

Таблица степеней чисел от 1 до 10

Эта таблица полезна для быстрого определения результатов без калькулятора.

Альтернативные способы вычисления степеней

Калькулятор на телефоне или компьютере

Большинство научных калькуляторов имеют кнопку xʸ, ^ или EXP для возведения в степень. Введите основание, нажмите кнопку степени, введите показатель и нажмите «=».

Программирование

В языках программирования:

• Python: 2 ** 3 или pow(2, 3)
• JavaScript: Math.pow(2, 3) или 2 ** 3
• Excel: =СТЕПЕНЬ(2;3) или =2^3

Логарифмы

Для сложных степеней используют логарифмы:

log(aⁿ) = n × log(a)

Пример: вычислить 1,05²⁰ ≈ 2,653 через логарифмы: log(1,05²⁰) = 20 × log(1,05) ≈ 0,4238, тогда 10^0,4238 ≈ 2,653.

Заключение

Калькулятор степеней чисел — универсальный инструмент для быстрого и точного возведения в любую степень. Он подходит для учебных задач, научных расчётов, финансовых прогнозов и инженерных проектов. Понимание правил и свойств степеней помогает избегать ошибок и проверять результаты. Используйте калькулятор для экономии времени, а таблицы и формулы — для углубления знаний.

Дисклеймер: Калькулятор выдаёт математически точные результаты для стандартных операций. Для комплексных чисел, специальных функций или задач повышенной точности обращайтесь к специализированным программам.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.