Обновлено: 7 марта 2026 г.

Степень числа онлайн

Потребность возникает внезапно: нужно быстро получить 7¹², посчитать 1,05²⁰ для финансового прогноза или проверить, правильно ли вы помните, что 2¹⁰ = 1 024. Ручной счёт или столбик здесь – напрасная трата времени.

Калькулятор принимает основание (любое вещественное число, включая отрицательные и дробные) и показатель степени (целый, дробный или отрицательный). Результат отображается точно: для целых чисел – без округления, для вещественных – до нескольких значащих цифр. Если основание – дробь, вводите её в десятичном формате: 0,25 вместо 1/4.

Калькулятор предназначен для вычислительных и учебных задач. Результаты рекомендуется проверять при использовании в инженерных расчётах.

Что такое степень числа

Степень – это произведение числа на само себя несколько раз. Запись aⁿ означает: взять основание a и перемножить его n раз:

aⁿ = a · a · a · … · a (n множителей)

Число a называется основанием, n – показателем степени. Например:

• 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81
• 2⁸ = 256
• 10³ = 1 000

Это определение работает для натуральных показателей. Для нуля, отрицательных и дробных степеней правила другие – о них ниже.

Специальные случаи, которые часто путают

Нулевая степень

Любое ненулевое число в степени 0 равно 1:

a⁰ = 1 (при a ≠ 0)

Формально это выводится из правила деления: aⁿ / aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰, а само деление aⁿ / aⁿ = 1. Так и закрепляется равенство.

Про 0⁰ договорились: в комбинаторике и теории степенных рядов его полагают равным 1, но строгое математическое значение – неопределённость.

Отрицательная степень

Отрицательный показатель переворачивает дробь:

a⁻ⁿ = 1 / aⁿ

Примеры:

Дробная степень

Дробный показатель m/n эквивалентен корню:

aᵐ/ⁿ = ⁿ√(aᵐ)

Знаменатель дроби – это степень корня, числитель – показатель внутри него.

Разберём 27^(2/3):

1. Знаменатель 3 → берём кубический корень: ∛27 = 3
2. Числитель 2 → возводим в квадрат: 3² = 9

Ответ: 9.

Для отрицательных оснований дробная степень с чётным знаменателем уходит в область комплексных чисел – обычные калькуляторы её не считают.

Правила работы со степенями

Несколько свойств, которые упрощают вычисления:

Умножение с одинаковым основанием – показатели складываются:

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

Например: 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128.

Деление – показатели вычитаются:

aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

Например: 3⁵ / 3² = 3³ = 27.

Степень степени – показатели перемножаются:

(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ

Например: (5²)³ = 5⁶ = 15 625.

Степень произведения – показатель распределяется:

(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ

Например: (2 · 3)⁴ = 2⁴ · 3⁴ = 16 · 81 = 1 296.

Осторожно: типичные ошибки

Знак и скобки. (−3)² = 9, а −3² = −9. Без скобок знак «минус» не входит в основание.

Степень суммы – не сумма степеней. (a + b)² ≠ a² + b². Правильно: (a + b)² = a² + 2ab + b². Это формула квадрата суммы.

Отрицательное основание в дробной степени. (−4)^(1/2) не является вещественным числом. Если основание отрицательное, а знаменатель показателя чётный – результат комплексный.

Где это применяется

Степени – рабочий инструмент в десятках практических задач:

• Финансы. Сложные проценты считаются через формулу S = P · (1 + r)ⁿ, где n – количество периодов. При 10% годовых за 20 лет капитал вырастет в 1,1²⁰ ≈ 6,73 раза.
• Физика и техника. Закон обратных квадратов: интенсивность сигнала убывает пропорционально r⁻². Площадь и объём тел выражаются через вторую и третью степень линейных размеров.
• Информатика. Объёмы памяти – степени двойки: 2¹⁰ = 1 024 (Кб), 2²⁰ = 1 048 576 (Мб). Алгоритмическая сложность часто выражается как O(nˢ).
• Химия. Концентрации и константы равновесия возводятся в степени, равные стехиометрическим коэффициентам реакции.
• Астрономия. Третий закон Кеплера: T² ∝ a³, где T – период обращения, a – большая полуось орбиты.

Если нужна обратная операция – найти, в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить заданное число – это уже задача для логарифма. А извлечение корня (например, кубического из 125) эквивалентно возведению в дробную степень 1/3.