Средняя линия отрезка

Что такое средняя линия отрезка

Средняя линия отрезка, или середина отрезка — это точка, которая делит отрезок ровно пополам. Она находится на одинаковом расстоянии от обоих концов отрезка. Эта точка обозначается обычно буквой M и является ключевым элементом в геометрии, аналитической геометрии и прикладных расчётах.

Формула для расчёта

Если отрезок задан двумя точками A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) на плоскости, координаты средней линии M вычисляются по формулам:

$$M_x = \frac{x_1 + x_2}{2}$$

$$M_y = \frac{y_1 + y_2}{2}$$

Итоговая координата: M((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2)

Для трёхмерного пространства

Если отрезок находится в пространстве: A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂), добавляется третья координата:

$$M_z = \frac{z_1 + z_2}{2}$$

Итоговая координата: M((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2; (z₁ + z₂)/2)

Пошаговый алгоритм расчёта

1. Запишите координаты обоих концов отрезка (x₁, y₁) и (x₂, y₂).
2. Сложите x-координаты: x₁ + x₂.
3. Разделите сумму на 2: (x₁ + x₂)/2.
4. Сложите y-координаты: y₁ + y₂.
5. Разделите сумму на 2: (y₁ + y₂)/2.
6. Запишите результат: M(Mx; My).

Примеры расчётов

Пример 1: Простой случай

Найти середину отрезка AB, где A(2, 4) и B(8, 10).

$$M_x = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

$$M_y = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

Ответ: M(5, 7)

Пример 2: Отрицательные координаты

Отрезок с концами A(−3, 5) и B(7, −1).

$$M_x = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$M_y = \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Ответ: M(2, 2)

Пример 3: В пространстве

Отрезок AB: A(1, 2, 3) и B(5, 8, 9).

$$M_x = \frac{1 + 5}{2} = 3, \quad M_y = \frac{2 + 8}{2} = 5, \quad M_z = \frac{3 + 9}{2} = 6$$

Ответ: M(3, 5, 6)

Основные свойства

• Уникальность. Для каждого отрезка существует ровно одна средняя точка.
• Симметрия. Расстояние от М до А равно расстоянию от М до B.
• Независимость от масштаба. Формула работает для отрезков любой длины.
• Центр масс. Средняя точка является центром тяжести однородного отрезка.

Применение в практике

Архитектура и строительство: расчёт центра опоры конструкций, балок.

Картография и геодезия: определение центра земельного участка по его граничным координатам.

Компьютерная графика: поиск центра линий, отрезков, для интерполяции и анимации.

Машиностроение: нахождение точки приложения силы на отрезке детали.

Инженерные расчёты: определение контрольной точки для проверки симметрии.

Проверка результата

Проверить корректность расчёта поможет расстояние. Вычислите расстояние от M до A и от M до B — они должны быть одинаковыми.

$$d_{MA} = \sqrt{(M_x - x_1)^2 + (M_y - y_1)^2}$$

$$d_{MB} = \sqrt{(M_x - x_2)^2 + (M_y - y_2)^2}$$

Если d(MA) = d(MB), расчёт верен.

Вывод

Средняя линия (середина) отрезка находится по простой формуле путём усреднения координат обоих концов. Это базовый инструмент геометрии, используемый в науке, инженерии и технике. Расчёт занимает секунды, но результат критически важен для точности проектирования и измерений.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.