Средняя линия отрезка

Средняя линия отрезка — это точка, которая делит отрезок пополам. Рассчитывается по координатам его концов через простую формулу. Используется в геометрии, архитектуре, картографии и инженерных расчётах.

Обновлено:

Содержание статьи
Выбор размерностиВыберите, в каком пространстве находится отрезок
Точка A (первый конец отрезка) Введите координаты первой точки отрезка
Точка B (второй конец отрезка) Введите координаты второй точки отрезка

Что такое средняя линия отрезка

Средняя линия отрезка, или середина отрезка — это точка, которая делит отрезок ровно пополам. Она находится на одинаковом расстоянии от обоих концов отрезка. Эта точка обозначается обычно буквой M и является ключевым элементом в геометрии, аналитической геометрии и прикладных расчётах.

Формула для расчёта

Если отрезок задан двумя точками A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) на плоскости, координаты средней линии M вычисляются по формулам:

$$M_x = \frac{x_1 + x_2}{2}$$$$M_y = \frac{y_1 + y_2}{2}$$

Итоговая координата: M((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2)

Для трёхмерного пространства

Если отрезок находится в пространстве: A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂), добавляется третья координата:

$$M_z = \frac{z_1 + z_2}{2}$$

Итоговая координата: M((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2; (z₁ + z₂)/2)

Пошаговый алгоритм расчёта

  1. Запишите координаты обоих концов отрезка (x₁, y₁) и (x₂, y₂).
  2. Сложите x-координаты: x₁ + x₂.
  3. Разделите сумму на 2: (x₁ + x₂)/2.
  4. Сложите y-координаты: y₁ + y₂.
  5. Разделите сумму на 2: (y₁ + y₂)/2.
  6. Запишите результат: M(Mx; My).

Примеры расчётов

Пример 1: Простой случай

Найти середину отрезка AB, где A(2, 4) и B(8, 10).

$$M_x = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$$$$M_y = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

Ответ: M(5, 7)

Пример 2: Отрицательные координаты

Отрезок с концами A(−3, 5) и B(7, −1).

$$M_x = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$$$$M_y = \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Ответ: M(2, 2)

Пример 3: В пространстве

Отрезок AB: A(1, 2, 3) и B(5, 8, 9).

$$M_x = \frac{1 + 5}{2} = 3, \quad M_y = \frac{2 + 8}{2} = 5, \quad M_z = \frac{3 + 9}{2} = 6$$

Ответ: M(3, 5, 6)

Основные свойства

Применение в практике

Архитектура и строительство: расчёт центра опоры конструкций, балок.

Картография и геодезия: определение центра земельного участка по его граничным координатам.

Компьютерная графика: поиск центра линий, отрезков, для интерполяции и анимации.

Машиностроение: нахождение точки приложения силы на отрезке детали.

Инженерные расчёты: определение контрольной точки для проверки симметрии.

Проверка результата

Проверить корректность расчёта поможет расстояние. Вычислите расстояние от M до A и от M до B — они должны быть одинаковыми.

$$d_{MA} = \sqrt{(M_x - x_1)^2 + (M_y - y_1)^2}$$$$d_{MB} = \sqrt{(M_x - x_2)^2 + (M_y - y_2)^2}$$

Если d(MA) = d(MB), расчёт верен.

Вывод

Средняя линия (середина) отрезка находится по простой формуле путём усреднения координат обоих концов. Это базовый инструмент геометрии, используемый в науке, инженерии и технике. Расчёт занимает секунды, но результат критически важен для точности проектирования и измерений.

Часто задаваемые вопросы

Что такое средняя линия отрезка?

Средняя линия (или середина) отрезка — это точка, которая делит отрезок на две равные части. Расположена на одинаковом расстоянии от обоих концов отрезка.

Какая формула для средней линии отрезка?

Для отрезка на плоскости с концами A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) координаты средней линии: M = ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2). В пространстве добавляется третья координата: M = ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2; (z₁+z₂)/2).

Как найти середину отрезка на координатной плоскости?

Сложите координаты x первого и второго концов, разделите на 2 — получите x средней точки. Аналогично для координаты y. Например, для A(2, 4) и B(8, 10): M((2+8)/2, (4+10)/2) = M(5, 7).

Найти среднюю линию отрезка с концами (0, 0) и (10, 20)?

Подставляем в формулу: M((0+10)/2, (0+20)/2) = M(5, 10). Средняя линия находится в точке с координатами (5, 10).

В чём отличие средней линии от медианы в треугольнике?

Средняя линия отрезка — это одна точка (середина). Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон и параллельный третьей стороне.

Где применяется расчёт средней линии отрезка?

В архитектуре (расчёт центра опоры), картографии (нахождение координат центра участка), инженерии, компьютерной графике, геодезии и машиностроении.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.