Среднее квадратное

Что такое среднее квадратное

Среднее квадратное (RMS, root mean square) — это статистический показатель, который измеряет среднее значение квадратов отклонений данных от их среднего значения. Это корень квадратный из среднего арифметического квадратов всех значений набора данных.

Показатель особенно полезен, когда нужно оценить общую величину колебаний или разброса, не обращая внимания на направление отклонений (+ или –). Среднее квадратное всегда больше или равно нулю и чувствительнее к выбросам, чем обычное среднее арифметическое.

Формула среднего квадратного

Основная формула выглядит так:

RMS = √[(x₁ – x̄)² + (x₂ – x̄)² + … + (xₙ – x̄)²] / n

Где:

• x₁, x₂, …, xₙ — отдельные значения в наборе данных
• x̄ — среднее арифметическое всех значений
• n — количество значений в наборе

Для набора значений, которые уже представлены как отклонения от нуля, формула упрощается:

RMS = √(x₁² + x₂² + … + xₙ²) / n

Пошаговый расчёт

1. Найдите среднее арифметическое всех значений: сложите все числа и разделите на их количество.
2. Вычислите отклонения: вычтите среднее значение из каждого исходного значения.
3. Возведите в квадрат каждое отклонение.
4. Найдите среднее арифметическое всех квадратов отклонений.
5. Извлеките корень квадратный из полученного значения.

Пример расчёта

Возьмём набор данных: 2, 4, 6, 8, 10

1. Среднее арифметическое: (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 6
2. Отклонения: −4, −2, 0, 2, 4
3. Квадраты отклонений: 16, 4, 0, 4, 16
4. Среднее квадратов: (16 + 4 + 0 + 4 + 16) / 5 = 8
5. Среднее квадратное: √8 ≈ 2,83

Результат: RMS ≈ 2,83

Где применяется среднее квадратное

В электротехнике среднее квадратное используется для расчёта эффективного (действующего) напряжения и тока переменного тока. Для синусоидального сигнала с амплитудой A, эффективное значение равно A / √2.

В статистике показатель помогает оценить степень разброса данных вокруг центра распределения. Чем больше RMS, тем более рассеяны данные.

В обработке сигналов среднее квадратное отражает общую мощность сигнала и используется для анализа шума, вибраций и качества звука.

В метрологии показатель используется для оценки точности измерений и систематических ошибок.

Отличие от других средних значений

• Среднее арифметическое просто усредняет все значения без учёта разброса.
• Среднее геометрическое применяется для данных, растущих экспоненциально.
• Среднее гармоническое используется для усреднения скоростей и отношений.
• Среднее квадратное лучше отражает общую величину отклонений и подходит для данных, где знак отклонения не важен.

Особенности и ограничения

Среднее квадратное чувствительно к выбросам — если в наборе окажется одно очень большое или очень маленькое число, RMS сильно возрастёт.

Показатель всегда неотрицательный, так как все отклонения возводятся в квадрат.

Среднее квадратное зависит от единиц измерения — если данные в метрах, RMS будет в метрах; если перевести в сантиметры, RMS возрастёт в 100 раз.

Заключение

Среднее квадратное — мощный инструмент для анализа разброса и колебаний данных. Благодаря математическим свойствам, оно широко применяется в науке, технике и статистике. Для расчётов с большими наборами данных удобно использовать онлайн-калькулятор, который быстро выдаст точный результат.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.