Среднее геометрическое

Среднее геометрическое — это средняя величина, вычисляемая как корень n-й степени из произведения n чисел. Используется для анализа темпов роста, процентных изменений и норм доходности. Отличается от среднего арифметического и применимо для относительных значений.

Обновлено:

Содержание статьи
Среднее геометрическое
Введите положительное число

Что такое среднее геометрическое

Среднее геометрическое — это математическая величина, которая находится путём извлечения корня n-й степени из произведения n положительных чисел. Она используется для определения средней скорости роста, средней нормы доходности и других мультипликативных процессов, где изменения выражены в процентах или коэффициентах.

В отличие от среднего арифметического, которое подходит для аддитивных данных (сумма), геометрическое среднее применяется к мультипликативным данным (произведение), что делает его более точным инструментом для анализа относительных изменений.

Формула среднего геометрического

Общая формула имеет вид:

G = ⁿ√(a₁ × a₂ × … × aₙ)

или эквивалентно:

G = (a₁ × a₂ × … × aₙ)^(1/n)

где:

Для двух чисел формула упрощается до: G = √(a₁ × a₂)

Как рассчитать среднее геометрическое

Пошаговый алгоритм:

  1. Перемножьте все числа между собой.
  2. Найдите n-й корень из полученного произведения, где n равно количеству чисел.
  3. Результат — среднее геометрическое.

Альтернативный способ через логарифмы (удобен для больших наборов чисел):

  1. Найдите натуральный логарифм каждого числа: ln(a₁), ln(a₂), …, ln(aₙ).
  2. Вычислите среднее арифметическое этих логарифмов.
  3. Возьмите экспоненту (e^) от полученного среднего.

G = e^((ln(a₁) + ln(a₂) + … + ln(aₙ))/n)

Примеры расчётов

Пример 1: Два числа

Найти среднее геометрическое чисел 2 и 8.

G = √(2 × 8) = √16 = 4

Пример 2: Три числа

Найти среднее геометрическое чисел 3, 6 и 12.

G = ³√(3 × 6 × 12) = ³√216 = 6

Пример 3: Темп роста инвестиций

Инвестиция растёт на 10%, затем на 20%, затем на 5%. Найти среднегодовой темп роста.

Коэффициенты роста: 1,1; 1,2; 1,05

G = ³√(1,1 × 1,2 × 1,05) = ³√1,386 ≈ 1,1149 или 11,49% среднегодовой рост

Применение среднего геометрического

В финансах:

В статистике:

В инженерии и физике:

Отличие от среднего арифметического

ХарактеристикаСреднее арифметическоеСреднее геометрическое
Формула(a₁ + a₂ + … + aₙ) / nⁿ√(a₁ × a₂ × … × aₙ)
ПрименениеСумма, абсолютные значенияПроизведение, относительные изменения
ПримерСредний возраст, сумма оценокТемп роста, средний коэффициент
ЗначениеG ≤ A для всех положительных чиселВсегда ≤ арифметического среднего

Ограничения и предупреждения

Советы для расчётов

Часто задаваемые вопросы

Как рассчитать среднее геометрическое двух чисел?

Найдите произведение чисел и извлеките из него квадратный корень. Например, для 4 и 9: √(4 × 9) = √36 = 6.

Какова формула среднего геометрического?

G = ⁿ√(a₁ × a₂ × ... × aₙ), где n — количество чисел. Альтернативно: G = (a₁ × a₂ × ... × aₙ)^(1/n).

В чём разница между средним геометрическим и арифметическим?

Арифметическое среднее суммирует числа, геометрическое перемножает. Геометрическое всегда ≤ арифметическому и лучше для темпов роста и процентных изменений.

Где используется среднее геометрическое?

В финансах (средняя норма доходности), биологии (рост популяций), инженерии, статистике при анализе мультипликативных процессов и относительных значений.

Почему среднее геометрическое меньше среднего арифметического?

Это следует из неравенства о средних: при положительных числах произведение растёт медленнее суммы, поэтому n-й корень из произведения всегда ≤ среднему арифметическому.

Можно ли вычислить среднее геометрическое отрицательных чисел?

Нет, геометрическое среднее определено только для положительных чисел, так как произведение может быть отрицательным, и корень не всегда извлекается.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.