Среднее геометрическое

Что такое среднее геометрическое

Среднее геометрическое — это математическая величина, которая находится путём извлечения корня n-й степени из произведения n положительных чисел. Она используется для определения средней скорости роста, средней нормы доходности и других мультипликативных процессов, где изменения выражены в процентах или коэффициентах.

В отличие от среднего арифметического, которое подходит для аддитивных данных (сумма), геометрическое среднее применяется к мультипликативным данным (произведение), что делает его более точным инструментом для анализа относительных изменений.

Формула среднего геометрического

Общая формула имеет вид:

G = ⁿ√(a₁ × a₂ × … × aₙ)

или эквивалентно:

G = (a₁ × a₂ × … × aₙ)^(1/n)

где:

• G — среднее геометрическое
• a₁, a₂, …, aₙ — положительные числа
• n — количество чисел

Для двух чисел формула упрощается до: G = √(a₁ × a₂)

Как рассчитать среднее геометрическое

Пошаговый алгоритм:

1. Перемножьте все числа между собой.
2. Найдите n-й корень из полученного произведения, где n равно количеству чисел.
3. Результат — среднее геометрическое.

Альтернативный способ через логарифмы (удобен для больших наборов чисел):

1. Найдите натуральный логарифм каждого числа: ln(a₁), ln(a₂), …, ln(aₙ).
2. Вычислите среднее арифметическое этих логарифмов.
3. Возьмите экспоненту (e^) от полученного среднего.

G = e^((ln(a₁) + ln(a₂) + … + ln(aₙ))/n)

Примеры расчётов

Пример 1: Два числа

Найти среднее геометрическое чисел 2 и 8.

G = √(2 × 8) = √16 = 4

Пример 2: Три числа

Найти среднее геометрическое чисел 3, 6 и 12.

G = ³√(3 × 6 × 12) = ³√216 = 6

Пример 3: Темп роста инвестиций

Инвестиция растёт на 10%, затем на 20%, затем на 5%. Найти среднегодовой темп роста.

Коэффициенты роста: 1,1; 1,2; 1,05

G = ³√(1,1 × 1,2 × 1,05) = ³√1,386 ≈ 1,1149 или 11,49% среднегодовой рост

Применение среднего геометрического

В финансах:

• Расчёт средней годовой нормы доходности (CAGR)
• Анализ волатильности и изменений цен
• Оценка среднего темпа инфляции

В статистике:

• Анализ относительных изменений
• Обработка данных с логарифмическим распределением

В инженерии и физике:

• Расчёт средних коэффициентов пропорциональности
• Анализ процессов с мультипликативными факторами

Отличие от среднего арифметического

Ограничения и предупреждения

• Среднее геометрическое определено только для положительных чисел.
• Если хотя бы одно число равно нулю, результат будет нулю.
• Для малого количества чисел результат может быть менее показателен, чем для большой выборки.
• При использовании в финансах убедитесь, что коэффициенты > 0 (проценты выражены верно).

Советы для расчётов

• Для двух-трёх чисел используйте калькулятор с функцией корня.
• Для больших наборов данных применяйте логарифмический метод или электронные таблицы (Excel: =GEOMEAN()).
• Всегда проверяйте, что все значения положительны, перед расчётом.
• Результат всегда будет между минимальным и максимальным значением в наборе (за исключением случаев, когда все числа одинаковые).

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.