Составить таблицу истинности: онлайн и примеры

Таблица истинности — один из самых частых заданий по математической логике и информатике. Нужно взять логическое выражение и аккуратно расписать, при каких значениях переменных оно истинно, а при каких ложно.

На этой странице вы можете:

• составить таблицу истинности онлайн с помощью встроенного калькулятора;
• разобраться, как строить такие таблицы вручную;
• посмотреть готовые примеры с пошаговым разбором.

Что такое таблица истинности простыми словами

Логическое выражение принимает только два значения:

• 1 (истина, «да»);
• 0 (ложь, «нет»).

Таблица истинности показывает, чему равно выражение (0 или 1) при всех возможных наборах значений переменных.

Например, для выражения A ∧ B (А И B) нужно выяснить:

• если A = 0, B = 0 — чему равно выражение?
• если A = 0, B = 1 — чему равно выражение?
• если A = 1, B = 0 — … и так далее.

Все эти варианты записываются в таблицу.

Как пользоваться онлайн‑калькулятором таблицы истинности

На этой странице расположен простой калькулятор, который помогает автоматически составить таблицу истинности для любого логического выражения.

Поддерживаемые обозначения

Как правило, калькулятор понимает следующие операции:

• НЕ: !A или ¬A
• И: A & B или A ∧ B
• ИЛИ: A | B или A ∨ B
• Импликация (если A, то B): A -> B
• Эквиваленция (равносильность): A <-> B

Переменные обозначаются заглавными латинскими буквами: A, B, C, P, Q и т.п. Скобки — обычные: ( и ).

Совет: придерживайтесь одного стиля записи: либо &, |, !, либо математические значки ∧, ∨, ¬.

Шаг 1. Введите логическое выражение

В поле ввода калькулятора напишите нужное выражение, например:

• A & B
• !(A & B) | C
• (P -> Q) & !R

Следите за:

• правильным количеством скобок;
• отсутствием лишних символов;
• одинаковым обозначением одной и той же переменной (везде A, а не A и a вперемешку).

Шаг 2. Укажите переменные (если нужно)

Во многих калькуляторах список переменных определяется автоматически — по буквам, которые встречаются в выражении.

Если предусмотрено ручное указание:

1. Найдите блок «Переменные».
2. Введите буквы через запятую: A,B,C.
3. Убедитесь, что все буквы действительно встречаются в выражении и нет лишних.

Шаг 3. Нажмите «Составить таблицу истинности»

После нажатия кнопки калькулятор:

1. Находит все уникальные переменные (например, A, B, C).
2. Строит все комбинации из 0 и 1 для этих переменных.
3. По каждой строке вычисляет значение выражения и добавляет столбец результата.

На экране появится полная таблица истинности: слева — переменные, справа — значение выражения.

Как интерпретировать результат

• Строки, где результат равен 1, показывают, при каких значениях переменных выражение истинно.
• Строки, где результат равен 0, — когда выражение ложно.

Эту таблицу можно:

• использовать для проверки домашнего задания;
• применить для упрощения выражения;
• вставить в отчёт, контрольную, курсовую (сделав аккуратное оформление).

Как считается таблица истинности в калькуляторе

Важно понимать, что делает калькулятор «под капотом»:

1. Определение числа строк.
   Если переменных n, то будет 2^n строк.

   • 1 переменная → 2 строки
   • 2 переменные → 4 строки
   • 3 переменные → 8 строк
   • 4 переменные → 16 строк и т.д.

2. Перебор значений.
   Для A, B, C значения перебираются в двоичном порядке:

   № строки	A	B	C
   1	0	0	0
   2	0	0	1
   3	0	1	0
   4	0	1	1
   5	1	0	0
   6	1	0	1
   7	1	1	0
   8	1	1	1

3. Пошаговая оценка выражения.
   Для каждой строки подставляются текущие значения переменных, и выражение считается по правилам логики:

   • !1 = 0, !0 = 1
   • 1 & 1 = 1, во всех остальных случаях & даёт 0
   • 0 | 0 = 0, во всех остальных случаях | даёт 1
   • Импликация A -> B даёт 0 только когда A = 1, B = 0
   • Эквиваленция A <-> B даёт 1, когда A и B совпадают

4. Формирование итогового столбца.
   Полученные значения записываются в последний столбец — это и есть таблица истинности выражения.

Пример 1. Составить таблицу истинности для A ∧ B

Разберём самый базовый пример и заодно увидим, как должен работать онлайн‑калькулятор.

Выражение: A ∧ B (логическое И).

Варианты значений переменных

У нас 2 переменные → будет 2^2 = 4 строки:

Заполнение таблицы вручную

Операция И (∧, &) даёт 1 только если обе переменные равны 1.

Как сделать то же самое в калькуляторе

1. Введите в поле: A & B.
2. Нажмите «Составить таблицу истинности».
3. Калькулятор покажет ту же таблицу:

Так вы можете быстро проверять свои ручные вычисления.

Пример 2. Таблица истинности для (A ∨ B) ∧ ¬C

Теперь более сложное выражение с тремя переменными:

(A ∨ B) ∧ ¬C
«(A ИЛИ B) И НЕ C»

Шаг 1. Перечисляем все комбинации A, B, C

Так как переменных три, строк будет 2^3 = 8:

Шаг 2. Добавляем промежуточные столбцы

Чтобы не запутаться, удобно выделить части выражения:

• A ∨ B
• ¬C
• Итог: (A ∨ B) ∧ ¬C

Пояснения:

• A ∨ B = 1, если хотя бы одна из A, B равна 1.
• ¬C = 1, если C = 0.
• (A ∨ B) ∧ ¬C = 1, если обе части равны 1.

Как ввести это выражение в калькулятор

1. В поле выражения напишите: (A | B) & !C.
2. Нажмите кнопку построения таблицы.
3. Проверьте, что таблица в калькуляторе совпадает с приведённой выше.

Правила построения таблицы истинности вручную

Чтобы самостоятельно составить таблицу истинности для любого выражения, придерживайтесь простого алгоритма.

1. Найдите все переменные

Посмотрите на выражение и выпишите все различные буквы:

• для A ∧ B → переменные: A, B (2 штуки);
• для A ∨ ¬B ∨ C → A, B, C (3 штуки);
• для (P → Q) ∧ ¬R → P, Q, R (3 штуки).

Число переменных обозначим n.

2. Определите количество строк: формула 2^n

Число строк в таблице истинности:

Количество строк = 2^n,
где n — число различных переменных.

Примеры:

• n = 1 → 2^1 = 2 строки
• n = 2 → 2^2 = 4 строки
• n = 3 → 2^3 = 8 строк
• n = 4 → 2^4 = 16 строк

3. Заполните столбцы переменных по порядку

Значения обычно перебирают в таком порядке (как счёт в двоичной системе):

Для 2 переменных (A, B):

Для 3 переменных (A, B, C):

Главное — чтобы вы не пропустили ни одной комбинации.

4. Выделите промежуточные части выражения

Сложное выражение удобно разбить на части:

Например, для (A ∨ B) ∧ ¬C:

1. Сначала столбец A ∨ B;
2. Отдельно столбец ¬C;
3. Потом итоговый столбец (A ∨ B) ∧ ¬C.

Для (P → Q) ∨ ¬R:

1. Посчитать P → Q;
2. Посчитать ¬R;
3. Посчитать (P → Q) ∨ ¬R.

Так намного меньше шансов запутаться и ошибиться.

5. Используйте правила логических операций

Кратко повторим:

• НЕ (¬A, !A):

  • если A = 0, то ¬A = 1;
  • если A = 1, то ¬A = 0.

• И (A ∧ B, A & B):

  • результат 1 только при A = 1 и B = 1;
  • иначе 0.

• ИЛИ (A ∨ B, A | B):

  • результат 0 только при A = 0 и B = 0;
  • иначе 1.

• Импликация (A → B, A -> B):

  • 0 только в случае A = 1, B = 0;
  • во всех остальных случаях 1.

• Эквиваленция (A ↔ B, A <-> B):

  • 1, когда A и B одинаковы (0–0 или 1–1);
  • 0, когда отличаются.

Используя эти правила, по строкам заполняем все промежуточные столбцы и итог.

Частые ошибки при составлении таблиц истинности

Когда нужно составить таблицу истинности впервые, многие допускают одинаковые ошибки. Обратите внимание на следующие моменты.

1. Пропуск комбинаций переменных

Например, при трёх переменных (A, B, C) легко забыть про строку 1 0 1 или перепутать порядок. Из‑за этого:

• таблица получается «неполной»;
• выводы о выражении будут неверными.

Решение: переписывать комбинации строго по схеме двоичного счёта.

2. Неверная расстановка скобок

A ∨ B ∧ C и (A ∨ B) ∧ C — это разные выражения.

• В первом случае сначала считается B ∧ C, потом A ∨ (… ).
• Во втором — сначала A ∨ B, потом (… ) ∧ C.

Решение: при сомнении всегда явно ставьте скобки, даже если операция имеет приоритет.

3. Путаница в обозначениях

В одном месте написали A * B, в другом — A & B, а в третьем — AB. Для себя это может быть понятно, но:

• калькулятор может такую смесь не понять;
• при проверке учителю будет сложнее разобраться.

Решение: выбрать единый стиль и придерживаться его по всей работе.

4. Ошибки в инверсии (операции НЕ)

Очень часто забывают:

• перевернуть значение (написать 0 вместо 1 и наоборот);
• поставить НЕ только к переменной (¬A), хотя по смыслу инвертировать нужно всё выражение (¬(A ∧ B)).

Решение: аккуратно расставляйте знаки НЕ и скобки.

Зачем уметь составлять таблицу истинности

Навык построения таблиц истинности пригодится не только в школе на ОГЭ/ЕГЭ, но и дальше:

• Математическая логика и дискретная математика.
  Упрощение логических формул, доказательство тождеств.

• Информатика и программирование.
  Понимание сложных условий if, логических флагов, побитовых операций.

• Цифровая схемотехника.
  Описание работы логических элементов (И, ИЛИ, НЕ, NAND, NOR и т.д.).

• Поисковые запросы и фильтры.
  Логические условия в системах поиска, SQL‑запросах, системах управления доступом.

Поэтому удобно совмещать: сначала составить таблицу истинности вручную, чтобы понять суть, а потом использовать онлайн‑калькулятор для быстрой проверки и работы с более сложными примерами.

Краткий чек‑лист: как быстро и без ошибок составить таблицу истинности

1. Аккуратно перепишите логическое выражение, расставьте скобки.
2. Найдите все уникальные переменные и посчитайте их количество n.
3. Определите число строк: 2^n.
4. Заполните столбцы переменных всеми комбинациями 0 и 1.
5. Разбейте выражение на промежуточные части (отдельные столбцы).
6. По строкам, используя правила логики, посчитайте значения во всех столбцах.
7. Получите итоговый столбец — это и есть таблица истинности выражения.
8. При необходимости проверьте себя онлайн‑калькулятором на этой странице.

Следуя этой инструкции, вы сможете уверенно составить таблицу истинности для любого логического выражения и быстро свериться с автоматическим решением.

Часто задаваемые вопросы

Что ещё может пригодиться после

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.