Случайную монету бросают дважды

Задача «случайную монету бросают дважды» – одна из самых частых в ЕГЭ по математике. Она требует найти вероятность конкретного события: орёл выпадет ровно один раз, ни разу, хотя бы один раз или оба броска дадут одинаковый результат. Ниже – все варианты исходов, формулы и разбор типичных условий.

Что такое симметричная монета

Симметричная монета – воображаемая математическая модель. У неё нет веса, диаметра и толщины, она не может упасть на ребро (гурт). Главное свойство: вероятность выпадения орла и решки одинакова и равна 0,5. Такая модель нужна для мысленных экспериментов в теории вероятностей.

Все исходы, когда случайную монету бросают дважды

При каждом броске возможны 2 варианта – орёл (О) или решка (Р). Два броска дают 2 × 2 = 4 элементарных исхода:

Все четыре исхода равновозможны. Классическая формула вероятности:

P(A) = m / n, где m – число благоприятных исходов, n – общее число исходов (здесь n = 4).

Вероятности для основных событий

Орёл не выпадет ни разу

Нужно, чтобы оба раза выпала решка. Благоприятный исход один – РР.

P = 1 / 4 = 0,25 (25%)

Орёл выпадет ровно один раз

Подходят исходы, где орёл встречается ровно один раз: ОР и РО.

P = 2 / 4 = 0,5 (50%)

Орёл выпадет ровно два раза

Только один исход – ОО.

P = 1 / 4 = 0,25 (25%)

Орёл выпадет хотя бы один раз

«Хотя бы один» означает «один или больше». Благоприятны три исхода: ОО, ОР, РО. Противоположное событие – «орёл не выпадет ни разу» (РР).

P = 3 / 4 = 0,75 (75%)

Альтернативный путь – через противоположное событие: P = 1 − 0,25 = 0,75.

Оба раза выпадет одна и та же сторона

Подходят исходы ОО и РР.

P = 2 / 4 = 0,5 (50%)

Во второй раз выпадет то же, что и в первый

Это тот же случай: совпадение результатов двух бросков (ОО или РР).

P = 2 / 4 = 0,5 (50%)

Сводная таблица вероятностей

Как решать задачи с большим числом бросков

При n бросках общее число исходов равно 2ⁿ:

• 1 бросок – 2 исхода
• 2 броска – 4 исхода
• 3 броска – 8 исходов
• 4 броска – 16 исходов
• 5 бросков – 32 исхода

Для трёх бросков таблица исходов: РРР, РРО, РОР, РОО, ОРР, ОРО, ООР, ООО. Вероятность, что орёл выпадет ровно 2 раза – 3 благоприятных исхода (РОО, ОРО, ООР) из 8: P = 3/8 = 0,375.

При большом количестве бросков перебор исходов становится громоздким. В этом случае применяют формулу Бернулли:

P(k) = C(k,n) × pᵏ × qⁿ⁻ᵏ

где C(k,n) – число сочетаний из n по k, p = 0,5 – вероятность орла в одном броске, q = 0,5 – вероятность решки.

Для двух бросков и k = 1: P = C(1,2) × 0,5¹ × 0,5¹ = 2 × 0,25 = 0,5 – тот же результат, что и при прямом подсчёте.

Примеры задач из ЕГЭ

Задача 1. Симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.

Решение: благоприятные исходы – РО, ОР. P = 2/4 = 0,5.

Задача 2. В случайном эксперименте случайную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.

Решение: благоприятные исходы – ОО, ОР, РО. P = 3/4 = 0,75.

Задача 3. Перед матчем судья бросает монетку. Команда «Изумруд» играет два матча. Найдите вероятность, что «Изумруд» выиграет жребий оба раза.

Решение: выигрыш жребия оба раза – исход ОО. P = 1/4 = 0,25.

Статья носит образовательный характер. Для проверки решений задач используйте калькулятор выше.