Обновлено:
Случайную монету бросают дважды
Справочная информация
Формула Бернулли: P(k) = C(k,n) × p^k × q^(n-k)
Для симметричной монеты: p = 0,5, q = 0,5
Общее число исходов: 2^n
| Число бросков | Число исходов |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 8 |
| 4 | 16 |
| 5 | 32 |
Задача «случайную монету бросают дважды» – одна из самых частых в ЕГЭ по математике. Она требует найти вероятность конкретного события: орёл выпадет ровно один раз, ни разу, хотя бы один раз или оба броска дадут одинаковый результат. Ниже – все варианты исходов, формулы и разбор типичных условий.
Что такое симметричная монета
Симметричная монета – воображаемая математическая модель. У неё нет веса, диаметра и толщины, она не может упасть на ребро (гурт). Главное свойство: вероятность выпадения орла и решки одинакова и равна 0,5. Такая модель нужна для мысленных экспериментов в теории вероятностей.
Все исходы, когда случайную монету бросают дважды
При каждом броске возможны 2 варианта – орёл (О) или решка (Р). Два броска дают 2 × 2 = 4 элементарных исхода:
| Исход | Первый бросок | Второй бросок |
|---|---|---|
| ОО | Орёл | Орёл |
| ОР | Орёл | Решка |
| РО | Решка | Орёл |
| РР | Решка | Решка |
Все четыре исхода равновозможны. Классическая формула вероятности:
P(A) = m / n, где m – число благоприятных исходов, n – общее число исходов (здесь n = 4).
Вероятности для основных событий
Орёл не выпадет ни разу
Нужно, чтобы оба раза выпала решка. Благоприятный исход один – РР.
P = 1 / 4 = 0,25 (25%)
Орёл выпадет ровно один раз
Подходят исходы, где орёл встречается ровно один раз: ОР и РО.
P = 2 / 4 = 0,5 (50%)
Орёл выпадет ровно два раза
Только один исход – ОО.
P = 1 / 4 = 0,25 (25%)
Орёл выпадет хотя бы один раз
«Хотя бы один» означает «один или больше». Благоприятны три исхода: ОО, ОР, РО. Противоположное событие – «орёл не выпадет ни разу» (РР).
P = 3 / 4 = 0,75 (75%)
Альтернативный путь – через противоположное событие: P = 1 − 0,25 = 0,75.
Оба раза выпадет одна и та же сторона
Подходят исходы ОО и РР.
P = 2 / 4 = 0,5 (50%)
Во второй раз выпадет то же, что и в первый
Это тот же случай: совпадение результатов двух бросков (ОО или РР).
P = 2 / 4 = 0,5 (50%)
Сводная таблица вероятностей
| Событие | Благоприятные исходы | m | Вероятность |
|---|---|---|---|
| Орёл ни разу | РР | 1 | 0,25 |
| Орёл ровно 1 раз | ОР, РО | 2 | 0,5 |
| Орёл ровно 2 раза | ОО | 1 | 0,25 |
| Орёл хотя бы 1 раз | ОО, ОР, РО | 3 | 0,75 |
| Одинаковая сторона оба раза | ОО, РР | 2 | 0,5 |
| Разные стороны | ОР, РО | 2 | 0,5 |
Как решать задачи с большим числом бросков
При n бросках общее число исходов равно 2ⁿ:
- 1 бросок – 2 исхода
- 2 броска – 4 исхода
- 3 броска – 8 исходов
- 4 броска – 16 исходов
- 5 бросков – 32 исхода
Для трёх бросков таблица исходов: РРР, РРО, РОР, РОО, ОРР, ОРО, ООР, ООО. Вероятность, что орёл выпадет ровно 2 раза – 3 благоприятных исхода (РОО, ОРО, ООР) из 8: P = 3/8 = 0,375.
При большом количестве бросков перебор исходов становится громоздким. В этом случае применяют формулу Бернулли:
P(k) = C(k,n) × pᵏ × qⁿ⁻ᵏ
где C(k,n) – число сочетаний из n по k, p = 0,5 – вероятность орла в одном броске, q = 0,5 – вероятность решки.
Для двух бросков и k = 1: P = C(1,2) × 0,5¹ × 0,5¹ = 2 × 0,25 = 0,5 – тот же результат, что и при прямом подсчёте.
Примеры задач из ЕГЭ
Задача 1. Симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.
Решение: благоприятные исходы – РО, ОР. P = 2/4 = 0,5.
Задача 2. В случайном эксперименте случайную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.
Решение: благоприятные исходы – ОО, ОР, РО. P = 3/4 = 0,75.
Задача 3. Перед матчем судья бросает монетку. Команда «Изумруд» играет два матча. Найдите вероятность, что «Изумруд» выиграет жребий оба раза.
Решение: выигрыш жребия оба раза – исход ОО. P = 1/4 = 0,25.
Статья носит образовательный характер. Для проверки решений задач используйте калькулятор выше.
Часто задаваемые вопросы
Сколько всего исходов при двух бросках монеты?
При каждом броске 2 варианта (орёл или решка), поэтому общее число исходов равно 2 × 2 = 4: ОО, ОР, РО, РР.
Чему равна вероятность, что орёл выпадет ровно один раз?
Благоприятных исхода два – ОР и РО. Вероятность равна 2/4 = 0,5 или 50%.
Что означает «хотя бы один раз» в задачах с монетой?
Это означает «один раз или больше». При двух бросках «орёл хотя бы один раз» включает исходы ОО, ОР и РО – вероятность 3/4 = 0,75.
Чем симметричная монета отличается от настоящей?
Симметричная монета – математическая модель: у неё нет веса и толщины, она не может упасть на ребро, а вероятности орла и решки строго равны по 0,5.
Как считать вероятность при трёх и более бросках?
Общее число исходов равно 2ⁿ, где n – число бросков. Для трёх бросков это 8, для четырёх – 16. Вероятность находят как отношение благоприятных исходов к общему их числу.
Можно ли решать эти задачи через формулу Бернулли?
Да, формула Бернулли P = C(k,n) × pᵏ × qⁿ⁻ᵏ даёт тот же результат. При двух бросках и p = 0,5 она сводится к подсчёту благоприятных исходов из четырёх.
Похожие калькуляторы и статьи
- Вероятность при броске трех монет: как решать задачи
- Вероятность 3 случайных событий: формулы и примеры
- Найти математическое ожидание случайной величины
- Генератор случайного нечетного числа онлайн
- Математическая дисперсия случайной величины: формулы и расчёт
- Сумма и произведение случайных величин: свойства и расчет