Сложение и вычитание дробей

Как пользоваться калькулятором дробей

1. Введите первую дробь: укажите числитель и знаменатель в соответствующих полях.
2. Выберите операцию: сложение (+) или вычитание (−).
3. Введите вторую дробь: аналогично заполните числитель и знаменатель.
4. Для смешанных чисел: используйте дополнительное поле для целой части.
5. Нажмите “Рассчитать”: калькулятор покажет результат с пошаговым решением.
6. Изучите решение: просмотрите все этапы вычисления для понимания алгоритма.

Калькулятор автоматически упрощает результат и выделяет целую часть, если получается неправильная дробь.

Методология сложения и вычитания дробей

Дроби с одинаковыми знаменателями

Самый простой случай — когда знаменатели одинаковые.

Правило: складываем или вычитаем числители, знаменатель остается неизменным.

Формулы:

• Сложение: a/c + b/c = (a+b)/c
• Вычитание: a/c − b/c = (a−b)/c

Пример 1 (сложение):

3/8 + 2/8 = (3+2)/8 = 5/8

Пример 2 (вычитание):

7/9 − 4/9 = (7−4)/9 = 3/9 = 1/3

Дробь 3/9 сократили на 3

Дроби с разными знаменателями

Когда знаменатели различаются, нужно привести дроби к общему знаменателю.

Алгоритм:

1. Найдите наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.
2. Приведите каждую дробь к общему знаменателю.
3. Выполните операцию с числителями.
4. Упростите результат.

Пример 3:

1/3 + 1/4 = ?

1. НОК(3, 4) = 12
2. 1/3 = 4/12 (умножили на 4)
   1/4 = 3/12 (умножили на 3)
3. 4/12 + 3/12 = 7/12

Пример 4:

5/6 − 2/9 = ?

1. НОК(6, 9) = 18
2. 5/6 = 15/18 (умножили на 3)
   2/9 = 4/18 (умножили на 2)
3. 15/18 − 4/18 = 11/18

Смешанные числа

Смешанное число содержит целую и дробную части (например, 2 1/3).

Метод 1: Перевод в неправильные дроби

2 1/3 + 1 1/2 = ?

1. 2 1/3 = 7/3 (2×3+1)
2. 1 1/2 = 3/2 (1×2+1)
3. НОК(3, 2) = 6
4. 7/3 = 14/6
   3/2 = 9/6
5. 14/6 + 9/6 = 23/6 = 3 5/6

Метод 2: Сложение по частям

2 1/3 + 1 1/2 = ?

1. Целые части: 2 + 1 = 3
2. Дробные части: 1/3 + 1/2 = 2/6 + 3/6 = 5/6
3. Результат: 3 5/6

Пример с вычитанием (когда дробная часть уменьшаемого меньше):

3 1/4 − 1 2/3 = ?

1. 3 1/4 = 13/4
2. 1 2/3 = 5/3
3. НОК(4, 3) = 12
4. 13/4 = 39/12
   5/3 = 20/12
5. 39/12 − 20/12 = 19/12 = 1 7/12

Ключевые понятия

Числитель и знаменатель

• Числитель — верхнее число дроби, показывает количество частей.
• Знаменатель — нижнее число, показывает на сколько частей разделено целое.

НОК (наименьшее общее кратное)

Наименьшее число, которое делится на оба знаменателя без остатка. Используется как общий знаменатель.

Способы нахождения НОК:

• Метод перебора кратных
• Через разложение на простые множители
• Формула: НОК(a,b) = (a×b)/НОД(a,b)

НОД (наибольший общий делитель)

Наибольшее число, на которое делятся и числитель, и знаменатель. Используется для сокращения дробей.

Сокращение дробей

Деление числителя и знаменателя на их НОД для упрощения.

Пример:

12/18 = 12÷6/18÷6 = 2/3
НОД(12, 18) = 6

Правильные и неправильные дроби

• Правильная: числитель меньше знаменателя (3/5)
• Неправильная: числитель больше или равен знаменателю (7/5)

Неправильные дроби обычно преобразуют в смешанные числа: 7/5 = 1 2/5

Практические советы

Проверка результата

1. Прикидка: оцените примерный результат до точных вычислений.

   1/3 + 1/2 ≈ 0,33 + 0,5 = 0,83 ≈ 5/6
   

2. Обратная операция: вычтите одно из слагаемых из суммы.

   Если 1/3 + 1/2 = 5/6, то 5/6 − 1/3 = 1/2 ✓
   

3. Десятичная проверка: переведите дроби в десятичные.

   1/4 + 1/2 = 0,25 + 0,5 = 0,75 = 3/4 ✓
   

Типичные ошибки

Лайфхаки для быстрого счета

1. Дополнение до целого:

7/8 + 3/4 = 7/8 + 6/8 = 13/8 = 1 5/8
Привели 3/4 к знаменателю 8 сразу

2. Вычитание через дополнение:

5/6 − 1/3 = 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2
Умножили 1/3 на 2/2

3. Использование опорных дробей:

2/5 + 3/10 = ?
2/5 = 4/10 (удвоили)
4/10 + 3/10 = 7/10

Применение в реальной жизни

Кулинария

Задача: Рецепт требует 2/3 стакана муки, а у вас есть только 1/4 стакана. Сколько еще нужно добавить?

2/3 − 1/4 = 8/12 − 3/12 = 5/12 стакана

Строительство и ремонт

Задача: Нужно распилить доску на части длиной 1 3/4 метра и 2 1/8 метра. Какой длины доска нужна?

1 3/4 + 2 1/8 = 1 6/8 + 2 1/8 = 3 7/8 метра

Финансы

Задача: Вы потратили 1/5 зарплаты на продукты и 1/4 на коммунальные услуги. Какую часть зарплаты потратили?

1/5 + 1/4 = 4/20 + 5/20 = 9/20 зарплаты

Учебные задачи

Задача: Ученик прочитал 2/7 книги в первый день и 3/14 во второй. Какую часть книги он прочитал?

2/7 + 3/14 = 4/14 + 3/14 = 7/14 = 1/2 книги

Расширенные примеры

Пример с тремя дробями

1/2 + 1/3 + 1/4 = ?

НОК(2, 3, 4) = 12

1/2 = 6/12
1/3 = 4/12
1/4 = 3/12

6/12 + 4/12 + 3/12 = 13/12 = 1 1/12

Пример с отрицательными дробями

3/4 − 5/6 = ?

НОК(4, 6) = 12

3/4 = 9/12
5/6 = 10/12

9/12 − 10/12 = −1/12

Комбинированный пример

2 1/3 + 1/2 − 1 1/4 = ?

1. Переводим в неправильные дроби:
   2 1/3 = 7/3
   1/2 = 1/2
   1 1/4 = 5/4

2. НОК(3, 2, 4) = 12

3. Приводим:
   7/3 = 28/12
   1/2 = 6/12
   5/4 = 15/12

4. Вычисляем:
   28/12 + 6/12 − 15/12 = 19/12 = 1 7/12

Сравнение методов вычисления

Примечание: Всегда упрощайте конечный результат и проверяйте ответ альтернативным способом. При работе с дробями в практических задачах учитывайте контекст — иногда удобнее оставить результат в виде неправильной дроби или перевести в десятичную форму.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.