Обновлено:

Сложный корень

Сложный корень — это корень n-ной степени из комплексного числа. В отличие от привычных квадратных и кубических корней из действительных чисел, сложный корень имеет несколько значений и требует использования полярной формы представления числа и формулы Муавра для вычисления.

Вычисление корня степени n

Что такое сложный корень

Сложный корень — это решение уравнения z^n = a, где a — комплексное число, n — степень корня (натуральное число ≥ 2), а z — искомое значение корня.

Ключевые свойства:

Как вычислить сложный корень

Пошаговая инструкция

Шаг 1. Переведите число в полярную форму

Представьте комплексное число a в виде:

a = r · e^(iθ) = r(cos θ + i sin θ)

где:

Шаг 2. Примените формулу Муавра

Все n корней n-ной степени находятся по формуле:

z_k = r^(1/n) · e^(i(θ + 2πk)/n)  или  z_k = r^(1/n) · (cos((θ + 2πk)/n) + i·sin((θ + 2πk)/n))

где k = 0, 1, 2, …, n-1

Шаг 3. Вычислите все n значений

Подставьте последовательно k = 0, 1, …, n-1 и найдите координаты каждого корня в алгебраической форме.

Пример: корень третьей степени из -1

  1. Полярная форма: a = -1 = 1 · e^(iπ)

    • r = 1
    • θ = π

  2. Применение формулы:

    z_k = 1^(1/3) · e^(i(π + 2πk)/3) = e^(i(π + 2πk)/3)

  3. Три корня:

    • k = 0: z₀ = e^(iπ/3) = cos(60°) + i·sin(60°) = 1/2 + i√3/2
    • k = 1: z₁ = e^(iπ) = cos(180°) + i·sin(180°) = -1
    • k = 2: z₂ = e^(i5π/3) = cos(300°) + i·sin(300°) = 1/2 - i√3/2

Методология расчета

Определение модуля и аргумента

Для числа a = x + iy:

КомпонентФормула
Модульr = √(x² + y²)
Аргумент (I четверть, x > 0, y ≥ 0)θ = arctan(y/x)
Аргумент (II четверть, x < 0, y > 0)θ = π - arctan(|y/x|)
Аргумент (III четверть, x < 0, y < 0)θ = π + arctan(|y/x|)
Аргумент (IV четверть, x > 0, y < 0)θ = -arctan(|y/x|) или 2π - arctan(|y/x|)
Действительное число, x > 0θ = 0
Действительное число, x < 0θ = π
Мнимое число, y > 0θ = π/2
Мнимое число, y < 0θ = 3π/2

Алгоритм расчета модуля корня

Модуль каждого корня n-ной степени:

|z_k| = r^(1/n) = |a|^(1/n)

Все корни лежат на одной окружности радиусом r^(1/n).

Алгоритм расчета аргумента корня

Аргумент k-го корня:

arg(z_k) = (θ + 2πk) / n,  где k = 0, 1, ..., n-1

Угловое расстояние между соседними корнями: 2π/n.

Практические примеры

Пример 1: Квадратный корень из 4i

  1. Полярная форма: 4i = 4 · e^(iπ/2)

    • r = 4
    • θ = π/2

  2. Два корня (n = 2):

    • |z_k| = 4^(1/2) = 2
    • Аргументы: (π/2 + 0)/2 = π/4 и (π/2 + 2π)/2 = 5π/4

  3. Результаты:

    • z₀ = 2(cos(45°) + i·sin(45°)) = √2 + i√2
    • z₁ = 2(cos(225°) + i·sin(225°)) = -√2 - i√2

Пример 2: Четвёртый корень из 1

  1. Полярная форма: 1 = 1 · e^(i·0)

    • r = 1
    • θ = 0

  2. Четыре корня (n = 4):

    • |z_k| = 1^(1/4) = 1
    • Аргументы: 0, π/2, π, 3π/2

  3. Результаты (корни четвёртой степени единицы):

    • z₀ = 1
    • z₁ = i
    • z₂ = -1
    • z₃ = -i

Терминология

Модуль (абсолютное значение) — расстояние от начала координат до точки в комплексной плоскости. Обозначение: |z|.

Аргумент — угол от положительной действительной оси до радиуса-вектора точки (в радианах или градусах). Обозначение: arg(z).

Полярная форма — представление комплексного числа в виде z = r·e^(iθ) или z = r(cos θ + i sin θ).

Формула Муавра — формула для возведения комплексного числа в степень и извлечения корня: (r·e^(iθ))^n = r^n·e^(i·n·θ).

Единица мнимая — число i, для которого i² = -1. Используется в комплексных числах z = x + iy.

Типичные ошибки при вычислении

ОшибкаОписаниеКак избежать
Забывают о нескольких корняхБерут только один корень вместо nПомните: у комплексного числа ровно n корней n-ной степени
Неправильно находят аргументБерут arctan(y/x) без учета четвертиПроверьте знаки x и y, используйте таблицу четвертей
Ошибка с периодичностьюПропускают добавление 2πkВсегда добавляйте (θ + 2πk) в числитель при расчёте аргумента
Неправильный модуль корняБерут r вместо r^(1/n)Возводите модуль исходного числа в степень 1/n
Перевод в алгебраическую формуОшибки при расчёте cos и sinИспользуйте калькулятор, проверьте угол в нужных единицах

Полезные советы

Приложение: где используются сложные корни

Дисклеймер: Информация предоставляется в образовательных целях. При решении сложных математических задач используйте проверенные методы и консультируйтесь со специалистами.

Часто задаваемые вопросы

Что такое сложный корень?

Сложный корень — это корень n-ной степени из действительного или комплексного числа. Для комплексных чисел корень имеет n различных значений, определяемых через полярную форму записи и формулу Муавра.

Как вычислить корень любой степени?

Для действительного числа: возьмите число, возведите его в степень 1/n. Для комплексного числа используйте формулу Муавра: если z = r·e^(iθ), то n-й корень = r^(1/n)·e^(i(θ+2πk)/n), где k = 0, 1, ..., n-1.

Сколько корней у сложного числа?

Комплексное число имеет ровно n различных корней n-ной степени. Они расположены равномерно на окружности в комплексной плоскости радиусом r^(1/n).

Чем отличается сложный корень от обычного?

Обычный корень извлекается из действительных чисел и имеет одно или два значения. Сложный корень — это корень из комплексного числа, которое имеет ровно n значений, и требует использования полярной формы и формулы Муавра.

Какие ошибки при вычислении сложных корней?

Частые ошибки: забывают, что у комплексного числа несколько корней; неправильно переводят в полярную форму; ошибаются при расчёте аргумента; забывают добавлять 2πk при нахождении всех корней.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.