Сколько различных трёхзначных чисел можно составить

Всего в десятичной системе существует 900 трёхзначных чисел – от 100 до 999. Но в учебных задачах по алгебре и комбинаторике обычно спрашивают, сколько различных трёхзначных чисел можно составить из заданного набора цифр – с повторением или без, с нулём или без. Ответ зависит от условий, и решается он одним и тем же приёмом – правилом умножения.

Сколько трёхзначных чисел можно записать двумя цифрами

Это классическая задача из учебника Алимова (10–11 класс, упр. 1044). Условие звучит так: «Сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр…» – и далее четыре варианта наборов. Разберём их по шагам.

1) Цифры 2 и 3. Нуль в наборе отсутствует, значит, на первом месте может стоять любая из двух цифр. Повторения разрешены, поэтому для второй и третьей позиции выбор тот же. Считаем:

2 × 2 × 2 = 8 чисел

Проверка перебором: 222, 223, 232, 233, 322, 323, 332, 333.

2) Цифры 8 и 9. Ситуация та же – нуля нет, повторения разрешены:

2 × 2 × 2 = 8 чисел

3) Цифры 0 и 2. Появляется новое условие: ноль нельзя ставить на первое место, иначе число станет двузначным. Поэтому для первой позиции выбор ограничен одной цифрой (2), а для второй и третьей – двумя (0 и 2):

1 × 2 × 2 = 4 числа

Это 200, 202, 220, 222.

4) Цифры 0 и 5. Аналогично предыдущему пункту:

1 × 2 × 2 = 4 числа

Это 500, 505, 550, 555.

Как считать задачи на три цифры и больше

С тремя цифрами появляется ещё одна развилка: разрешено ли повторять цифры внутри одного числа.

Из цифр 1, 2, 3 без повторений. Первая позиция – 3 варианта, вторая – 2 (одна уже использована), третья – 1:

3 × 2 × 1 = 6 чисел

Это 123, 132, 213, 231, 312, 321.

Из цифр 0, 1, 2 без повторений. Ноль нельзя ставить в начало – остаётся 2 варианта на первую позицию. Дальше 2 и 1:

2 × 2 × 1 = 4 числа

Из цифр 1, 2, 3 с повторениями. На каждой позиции 3 варианта:

3 × 3 × 3 = 27 чисел

Из цифр 0, 1, 2, 3, 4 без повторений. Это расширенный вариант той же задачи. Сначала выбираем первую цифру – любую, кроме нуля, то есть 4 варианта. Вторую – из 4 оставшихся, третью – из 3 оставшихся:

4 × 4 × 3 = 48 чисел

В общем случае для набора из n цифр, среди которых есть ноль, без повторений получаем:

(n − 1) × (n − 1) × (n − 2)

А без нуля – n × (n − 1) × (n − 2). Это и есть число размещений без повторений: A(n, 3).

Правило умножения – главный инструмент

Все подобные задачи решаются одним приёмом. Нужно:

1. Определить, сколько цифр может стоять на первом месте (исключить ноль, если он есть в наборе).
2. Определить, сколько цифр может стоять на втором месте (учесть запрет повторений, если он есть).
3. То же для третьего места.
4. Перемножить полученные числа.

Если повторения разрешены и нуля нет, ответ равен n³. Если ноль есть – (n − 1) × n². Если повторения запрещены и нуля нет – n × (n − 1) × (n − 2). Это частные случаи общей формулы числа размещений с повторениями и без.

Чтобы быстро проверить себя в задачах со многими цифрами, удобно использовать калькулятор выше – он считает варианты по тем же правилам, что и при ручном решении.

Типичные ошибки

• Забывают исключить ноль из первой позиции. Числа 012, 034, 078 – это не трёхзначные числа, а двузначные с лидирующим нулём. Такие записи в ответ не входят.
• Путают «с повторением» и «без». Если в условии явно сказано «цифры не повторяются», каждая следующая позиция выбирается из уменьшенного набора. Если не сказано – по умолчанию подразумевается, что повторять можно, но это лучше уточнить по контексту задачи.
• Складывают вместо умножения. Складывать нужно, когда варианты выбираются «или-или». Здесь позиции выбираются одновременно – значит, работает произведение.
• Путают размещения и сочетания. Сочетания (123 ≈ 132) здесь не подходят – для нас важен порядок цифр, потому что 123 и 132 это разные числа.

Сводная таблица формул

Во второй строке снизу видно, почему из двух цифр без повторений трёхзначных чисел не составить: третья позиция занята, выбирать не из чего. Эта таблица покрывает все четыре варианта задачи 1044 из учебника Алимова и большинство похожих упражнений.