Сколькими способами можно выбрать капитана

«Сколькими способами из пяти членов команды можно выбрать капитана и его заместителя?» – типовая задача школьной комбинаторики. Короткий ответ: 20 способами. Капитаном может стать любой из 5 игроков, а заместителем – любой из 4 оставшихся, поэтому 5 × 4 = 20.

Ниже – почему работает именно умножение, как считать для команды любого размера и какие подводные камни меняют ответ.

Сколькими способами можно выбрать капитана и заместителя?

Логика опирается на правило умножения: если первый выбор можно сделать m способами, а второй – n способами, то оба выбора вместе дают m × n вариантов.

Для команды из 5 человек:

• капитана выбираем из 5 человек – 5 способов;
• заместителя выбираем из 4 оставшихся – 4 способа;
• вместе: 5 × 4 = 20 способов.

Заместитель не может совпадать с капитаном, поэтому на втором шаге доступно на одного человека меньше.

Калькулятор выше считает число способов выбрать руководящие роли из команды. Укажите количество человек в команде и число выбираемых ролей (например, 2 – капитан и заместитель), и расчёт покажет результат по формуле размещений, а также распишет промежуточное произношение множителей.

Формула размещений

Когда роли разные и порядок выбора важен, число вариантов считают как размещения из n по k:

A(n, k) = n × (n − 1) × (n − 2) × … × (n − k + 1)

В произведении ровно k множителей, начиная с n и убывая на единицу.

Для капитана и заместителя k = 2, поэтому формула упрощается до двух множителей:

A(n, 2) = n × (n − 1)

Через факториалы та же формула записывается как A(n, k) = n! / (n − k)!. Для A(10, 2) это 10! / 8! = 10 × 9 = 90.

Размещения или сочетания: где порядок важен

Главная развилка во всех подобных задачах – важен ли порядок выбора.

• Порядок важен → размещения. Капитан и заместитель – разные должности. Пара «Иванов – капитан, Петров – зам» и «Петров – капитан, Иванов – зам» – это два разных варианта.
• Порядок не важен → сочетания. Если из команды выбирают, например, двух равноправных дежурных, то «Иванов и Петров» – это один вариант.

Число сочетаний из n по 2 считается формулой C(n, 2) = n × (n − 1) / 2 и всегда вдвое меньше размещений: каждая неупорядоченная пара даёт два упорядоченных варианта.

Из 5 человек:

• капитан и зам (размещения) – 20 вариантов;
• два дежурных (сочетания) – 20 / 2 = 10 вариантов.

Особый случай: роли может занять один человек

Иногда условие допускает, что один и тот же человек выполняет обе функции – скажем, учитель выбирает старосту, а затем независимо назначает дежурного, и это может оказаться тот же ученик.

Тогда на втором шаге выбор снова идёт из полного состава, и применяется не убывающее произведение, а степень:

n × n = n²

Для 5 человек – 5 × 5 = 25 вариантов, а не 20. Разница в одной строчке условия меняет ответ, поэтому всегда проверяйте: убывает ли число доступных кандидатов на каждом шаге.

Как решать задачу пошагово

1. Определите, сколько ролей выбирают (k) и из скольких человек (n).
2. Проверьте, важен ли порядок. Разные должности – порядок важен (размещения).
3. Проверьте, могут ли роли совпадать. Если нет – множители убывают; если да – каждый множитель равен n.
4. Перемножьте: для двух разных ролей это n × (n − 1).
5. Сверьте логику по словам-маркерам: союз «и» обычно означает умножение, союз «или» – сложение вариантов.

Пример. В команде 12 человек, нужно выбрать капитана и заместителя. Роли разные, совпадать не могут: A(12, 2) = 12 × 11 = 132 способа.

Частые ошибки

• Считают как сочетания вместо размещений. Получают 10 вместо 20, потому что забывают, что капитан и зам – разные роли.
• Не убавляют второй множитель. Пишут 5 × 5 = 25 там, где один человек не может занять обе должности.
• Путают «выбрать одного» и «выбрать двоих». Если нужен только капитан, ответ равен n, без всякого умножения.
• Складывают вместо умножения. Сложение нужно, когда варианты исключают друг друга («или»), а не когда выборы делаются последовательно («и»).

Материал носит образовательный характер; при подготовке к контрольной сверяйтесь с формулировками вашего учебника.