Сколькими способами можно выбрать 3

Когда в задаче спрашивают «сколькими способами можно выбрать 3», речь идёт о сочетаниях – количестве вариантов выбора k элементов из n, при котором порядок не имеет значения. Выбор троих дежурных из 20 человек или 3 фруктов из 7 – это задачи на сочетания.

Формула числа сочетаний из n по 3

Количество способов выбрать 3 элемента из n вычисляется по формуле:

C(n, 3) = n! / (3! × (n − 3)!)

Где:

• n – общее количество элементов
• ! – факториал (произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа)
• C(n, 3) – читается как «це из эн по три»

После раскрытия и сокращения формула принимает удобный вид:

C(n, 3) = n × (n − 1) × (n − 2) / 6

Калькулятор выше позволяет мгновенно получить результат для любого n – достаточно указать общее количество элементов.

Как рассчитать число сочетаний пошагово

Разберём алгоритм на конкретном примере: сколькими способами можно выбрать 3 человека из 10?

Шаг 1. Записать формулу: C(10, 3) = 10! / (3! × 7!)

Шаг 2. Раскрыть числитель до факториала знаменателя: 10! = 10 × 9 × 8 × 7!

Шаг 3. Сократить 7! в числителе и знаменателе: (10 × 9 × 8) / 3!

Шаг 4. Вычислить 3! = 6 и разделить: (10 × 9 × 8) / 6 = 720 / 6 = 120 способов

Готовые ответы для популярных значений n

Когда порядок важен: сочетания vs размещения

Формула сочетаний работает, только если порядок выбора не важен. Трое дежурных – одни и те же люди независимо от того, в каком порядке их называли.

Если порядок имеет значение (например, 1-е, 2-е и 3-е место в соревновании), задача переходит в размещения – формула меняется:

A(n, 3) = n! / (n − 3)! = n × (n − 1) × (n − 2)

Результат при этом больше в 3! = 6 раз, потому что каждое сочетание из 3 элементов порождает 6 вариантов их упорядочивания.

Пример: выбрать 3 призовых места из 10 участников – A(10, 3) = 10 × 9 × 8 = 720 вариантов, тогда как просто выбрать троих – 120.

Типичные ошибки при расчёте

Перепутать сочетания и размещения. Если в задаче порядок не важен – используйте C(n, 3). Если важен – A(n, 3).

Забыть разделить на 6. Формула n × (n − 1) × (n − 2) считает размещения. Для сочетаний нужно разделить на 3! = 6.

Неправильно интерпретировать условие. «Выбрать 3 дежурных» – сочетания. «Назначить 3 дежурных на утреннюю, дневную и вечернюю смены» – размещения, потому что роли разные.

Примеры задач с решением

Задача 1. Сколькими способами можно выбрать 3 книги из 8?

Решение: C(8, 3) = 8 × 7 × 6 / 6 = 56 способов

Задача 2. В классе 25 учеников. Сколькими способами можно выбрать 3 для участия в олимпиаде?

Решение: C(25, 3) = 25 × 24 × 23 / 6 = 13 800 / 6 = 2 300 способов

Задача 3. Из колоды в 36 карт выбирают 3. Сколько возможных комбинаций?

Решение: C(36, 3) = 36 × 35 × 34 / 6 = 42 840 / 6 = 7 140 комбинаций