Сколькими способами можно выбрать 3 человек

4 июня 2026 г.

При решении задач вида «сколькими способами можно выбрать 3 человек» первым делом надо понять: важен ли порядок выбора. Ответ напрямую зависит от этого.

Если выбирается группа людей на одинаковые роли (дежурство, участники, члены комитета) – порядок не важен, и используется сочетание. Если же каждый из трёх получает уникальную должность (староста, заместитель, секретарь) или распределяются призовые места – порядок важен, и применяется размещение.

В этой статье разберём обе формулы на конкретных примерах и покажем, как быстро получить ответ без ошибок.

Формулы для выбора 3 человек

Сочетание (порядок не важен)

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Для $k=3$:

$$C_n^3 = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$$

Размещение (порядок важен)

$$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$

Для $k=3$:

$$A_n^3 = n(n-1)(n-2)$$

Ключевое различие: размещение ровно в 6 раз больше сочетания, потому что 3 человека можно переставить между собой $3! = 6$ способами.

Примеры для 10 человек

Рассмотрим два сценария:

Дежурство (порядок не важен)
$n=10$, $k=3$
$$C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = \frac{720}{6} = 120$$
Ответ: 120 способов.
Назначение на три разные должности (порядок важен)
$n=10$, $k=3$
$$A_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$$
Ответ: 720 способов.

Пример для 20 человек (задача из учебника)

В учебнике Виленкина (5 класс) встречается задача: «Сколькими способами можно выбрать трёх участников марафона из 20 человек?».

Типичная ошибка – считать по размещению (20 × 19 × 18 = 6840), хотя на самом деле порядок участников в группе неважен, если они не распределяются по пьедесталу. Тогда правильный ответ даёт сочетание:

$$C_{20}^3 = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{6} = \frac{6840}{6} = 1140$$

Ответ: 1140 способов.

Если бы выбирали призёров (1-е, 2-е, 3-е место) – число способов было бы 6840.

Вычисление количества способов выбрать 3 человекаВсего человек (n) Введите количество человек, из которых выбираете 3

Сочетание (порядок неважен): 120; Формула: C(n,3) = 10 × 9 × 8 / 6

Размещение (порядок важен): 720; Формула: A(n,3) = 10 × 9 × 8

Соотношение: Размещение в 6 раз больше, так как 3! = 6

Таблица примеров для разных значений n

n	C(n,3) – сочетание	A(n,3) – размещение
3	1	6
5	10	60
10	120	720
15	455	2730
20	1140	6840
25	2300	13800
30	4060	24360
50	19600	117600
100	161700	970200

Когда использовать сочетание, а когда размещение?

Выбирайте сочетание если:: • Выбираются люди на одинаковые роли (дежурные, участники, члены комитета)
• Порядок выбора не важен
• Просто формируется группа без различий внутри неё
Выбирайте размещение если:: • Каждый из трёх получает свою должность (капитан, помощник, ответственный)
• Распределяются призы (1-е, 2-е, 3-е место)
• Порядок выбора критичен
Пример задачи:: «Из 20 человек выбрать 3 участников для марафона» → используй сочетание (ответ 1140). «Выбрать капитана, вице-капитана и kazначея из 20 человек» → размещение (6840).

Как не ошибиться

Внимательно читайте условие. Ищите фразы «на разные роли», «каждый занимает свою должность» – это указание на порядок. Если таких фраз нет, скорее всего, применяется сочетание.
Сравните ответ. Для 3 человек ответ-размещение всегда в 6 раз больше ответа-сочетания. Если получилось, что одно число не кратно другому – перепроверьте вычисления.
Используйте калькулятор. Он сразу выдаёт оба значения и исключает арифметические ошибки.

Частные случаи

Когда n меньше 3. Если нужно выбрать 3 человек из 2, решение есть только при размещении с повторениями (возвратом), но в классической комбинаторике без повторений – 0 способов.

Когда n = 3. Сочетание: $C_3^3 = 1$ (одна группа). Размещение: $A_3^3 = 6$ (6 перестановок трёх человек по разным местам).

Когда n большое. Например, из 100 человек выбрать троих дежурных:

$$C_{100}^3 = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98}{6} = 161\,700$$

Ручной расчёт громоздкий – лучше доверить его калькулятору.

Часто задаваемые вопросы

Сколько способов выбрать 3 человек из 10 для дежурства?

Надо применить формулу сочетаний: C(10,3) = 10×9×8 / 6 = 120. Порядок здесь не важен – все трое выполняют одну и ту же работу, поэтому 120 способов.

В чем разница между сочетанием и размещением на примере выбора 3 человек?

Если выбираете 3 человек на равные роли (например, просто участники команды) – это сочетание (порядок не важен). Если назначаете их на разные должности (староста, зам, казначей) – это размещение (порядок важен). Для размещения число способов в 6 раз больше.

Сколько способов выбрать 3 человек из 20 для участия в марафоне?

Если участники не различаются по статусу (просто 3 бегуна) – это сочетание: C(20,3) = 20×19×18 / 6 = 1140. Если же выбираются победители (1-е, 2-е, 3-е место) – это размещение: A(20,3) = 20×19×18 = 6840.

Как быстро посчитать количество способов выбрать 3 человек онлайн?

Используйте калькулятор на этой странице: введите общее количество человек, выберите «порядок важен» или «не важен», и калькулятор мгновенно покажет ответ по формулам комбинаторики.

Какая формула для выбора 3 человек, если порядок не важен?

Формула сочетаний: C(n,3) = n(n-1)(n-2) / 6. Например, для n=8: C(8,3) = 8×7×6 / 6 = 56 способов.

Почему в некоторых задачах для выбора 3 участников используют умножение 20×19×18?

Потому что в условии неявно задан порядок: например, выбирают капитана, помощника и ответственного. Если порядок не указан, по умолчанию в комбинаторике считается, что порядок не важен – применяется сочетание. Умножение 20×19×18 даёт размещение – оно в 6 раз больше.