Сколькими способами можно составить расписание уроков

4 июня 2026 г.

Формула перестановок для расписания уроков

Задача о составлении расписания – классический пример задачи на перестановки без повторений. Суть проста: нужно найти, сколькими способами можно упорядочить n различных предметов.

Основная формула:

$$P_n = n! = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times n$$

Где n! (читается «эн факториал») – произведение всех целых чисел от 1 до n.

Почему именно перестановки?

Расписание уроков – это упорядоченный список. Порядок предметов принципиален: литература на первом уроке и алгебра на втором – это не то же самое, что алгебра на первом и литература на втором. Поэтому для подсчёта вариантов используется формула перестановок, а не сочетаний.

Ключевые условия применения формулы:

все уроки разные (нет повторяющихся предметов)
порядок следования важен
сдвоенных уроков нет

Примеры с решениями

Пример 1. Пять разных уроков

Сколькими способами можно составить расписание на понедельник из 5 разных предметов?

$$P_5 = 5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$$

Ответ: 120 способов.

Пример 2. Шесть уроков из шести предметов

Сколькими способами можно составить расписание 6 уроков из 6 разных учебных предметов?

$$P_6 = 6! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720$$

Ответ: 720 способов.

Пример 3. Расписание с учётом условий

Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, когда изучаются литература, алгебра, геометрия, история, география, причём сдвоенных уроков нет?

Это классическая задача из учебника алгебры 9 класса. Условие «сдвоенных уроков нет» означает, что каждый предмет занимает ровно один временной слот. Количество предметов: 5.

$$P_5 = 5! = 120$$

Ответ: 120 способов.

Пример 4. Сдвоенные уроки

Если бы уроки могли быть сдвоенными, задача потребовала бы дополнительного анализа: сначала определить количество пар предметов, затем переставить их внутри пар и между собой.

Таблица факториалов для популярных значений

n	n!
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5 040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800

Когда использовать другую формулу

Если в расписании повторяются предметы (например, два урока математики), применяется формула перестановок с повторениями:

$$P(n_1, n_2, \ldots, n_k) = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!}$$

Где n₁, n₂, … – количество повторений каждого элемента.

Частые ошибки

Путаница перестановок и сочетаний. Если в задаче сказано «выбрать 4 предмета из 10» – это сочетание. Если «составить расписание из всех 10 предметов» – перестановка.
Игнорирование условия о сдвоенных уроках. Это условие уточняет, что каждый предмет занимает один слот. Без него задача неполная.
Неправильный подсчёт факториала. Для больших чисел удобно использовать калькулятор или таблицу значений.

Материал актуален для школьного курса алгебры 9 класса по теме «Элементы комбинаторики». Для проверки расчётов рекомендуется использовать онлайн-калькулятор факториала.

Часто задаваемые вопросы

Какая формула нужна для составления расписания без повторений?

Если все уроки разные и порядок важен, применяется формула перестановок Pn = n! = 1·2·3·…·n.

Что если в расписании есть сдвоенные уроки?

При наличии сдвоенных уроков задача усложняется: сначала выбираются пары предметов, затем они переставляются внутри пар.

Чем перестановки отличаются от сочетаний?

В перестановках важен порядок элементов (алгебра ≠ геометрия), а в сочетаниях порядок не учитывается (только выборка).

Что означает n! в математике?

n! (эн-факториал) – произведение всех целых чисел от 1 до n. Например, 5! = 1·2·3·4·5 = 120.

Можно ли решить задачу о расписании через Excel?

Да, с помощью функции ПЕРЕСТ(n) или =ФАКТР(n), указав количество предметов в качестве аргумента.

Сколько способов составить расписание из 5 разных уроков?

5! = 1×2×3×4×5 = 120 способов.

Что такое факториал числа?

Факториал – оператор, обозначаемый n!, который даёт произведение всех натуральных чисел от 1 до заданного n.

Как решать задачи, где некоторые уроки повторяются?

При повторении элементов применяется формула перестановок с повторениями: P(n₁, n₂, …) = n! / (n₁!·n₂!·…).