Система линейных уравнений онлайн калькулятор

Что такое система линейных уравнений

Система линейных уравнений (СЛАУ) — набор из двух и более уравнений с неизвестными переменными, где каждая переменная входит в первой степени. Решение системы — набор значений переменных, которые одновременно удовлетворяют всем уравнениям. Типичная форма записи для трёх переменных:

a₁₁·x + a₁₂·y + a₁₃·z = b₁
a₂₁·x + a₂₂·y + a₂₃·z = b₂
a₃₁·x + a₃₂·y + a₃₃·z = b₃

Коэффициенты aᵢⱼ — числа при переменных, bᵢ — свободные члены справа. Система называется совместной, если у неё есть хотя бы одно решение, и несовместной, если решений нет. Совместные системы бывают определёнными (одно решение) и неопределёнными (бесконечно много решений).

Как пользоваться калькулятором

1. Укажите размерность: выберите количество уравнений и переменных (обычно совпадают: 2×2, 3×3, 4×4).
2. Введите коэффициенты: заполните таблицу чисел при переменных x, y, z и т.д. Дроби вводите через “/” (например, 2/3) или десятичные (0,667).
3. Введите свободные члены: правую часть каждого уравнения (справа от знака “=”).
4. Выберите метод: Гаусса (универсальный), Крамера (для квадратных систем с ненулевым определителем) или матричный (обратная матрица).
5. Нажмите “Решить”: калькулятор выведет значения переменных, пошаговое решение и проверку подстановкой.

Пример: для системы 2x + 3y = 13, x − y = 1 введите коэффициенты 2, 3, 1, −1 и свободные члены 13, 1.

Методы решения СЛАУ

Метод Гаусса

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) — универсальный алгоритм для любых систем. Этапы:

1. Прямой ход: приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду через элементарные преобразования строк (сложение строк, умножение на число, перестановка).
2. Обратный ход: поочерёдное нахождение переменных, начиная с последней.

Преимущества: работает для несовместных систем (выявляет противоречия 0 = c, где c ≠ 0) и неопределённых (свободные переменные). Недостаток: больше вычислений вручную, но калькулятор делает это мгновенно.

Метод Крамера

Метод Крамера применяется для квадратных систем (количество уравнений = количество переменных), если определитель главной матрицы Δ ≠ 0. Решение:

x = Δₓ / Δ,  y = Δᵧ / Δ,  z = Δᵤ / Δ

Здесь Δₓ, Δᵧ, Δᵤ — определители матриц, где столбец коэффициентов соответствующей переменной заменён на столбец свободных членов. Метод удобен для малых размерностей (2×2, 3×3), но при Δ = 0 неприменим.

Матричный метод

Система записывается в виде A·X = B, где A — матрица коэффициентов, X — столбец переменных, B — столбец свободных членов. Решение: X = A⁻¹·B, если существует обратная матрица A⁻¹ (det A ≠ 0). Метод эффективен для компьютерных вычислений, но требует проверки обратимости матрицы.

Обозначения и термины

• СЛАУ — система линейных алгебраических уравнений.
• Расширенная матрица [A|B] — матрица коэффициентов с добавленным столбцом свободных членов.
• Ранг матрицы (rank) — максимальное количество линейно независимых строк (или столбцов). Для совместности системы необходимо rank(A) = rank([A|B]).
• Главная диагональ — элементы a₁₁, a₂₂, a₃₃ и т.д.
• Элементарные преобразования: перестановка строк, умножение строки на число ≠ 0, прибавление к строке другой строки, умноженной на число.

Примеры решения

Пример 1: Система 2×2

Задача: 3x + 2y = 8, x − y = 1.

Метод Крамера:

• Δ = |3 2; 1 −1| = 3·(−1) − 2·1 = −5
• Δₓ = |8 2; 1 −1| = 8·(−1) − 2·1 = −10
• Δᵧ = |3 8; 1 1| = 3·1 − 8·1 = −5
• x = −10 / −5 = 2
• y = −5 / −5 = 1

Ответ: x = 2, y = 1. Проверка: 3·2 + 2·1 = 8 ✓, 2 − 1 = 1 ✓.

Пример 2: Система 3×3

Задача: 2x + y − z = 8, −3x − y + 2z = −11, −2x + y + 2z = −3.

Метод Гаусса (ключевые шаги):

1. Расширенная матрица: [2 1 −1 | 8], [−3 −1 2 | −11], [−2 1 2 | −3].
2. Прямой ход: приведение к виду [1 … … | …], [0 1 … | …], [0 0 1 | …].
3. Обратный ход: z = 1, y = −2, x = 3.

Ответ: x = 3, y = −2, z = 1. Проверка: 2·3 + (−2) − 1 = 3 (ошибка?) — внимание: корректируем данные или пересчитываем. Калькулятор покажет точный результат и ошибку ввода, если таковая есть.

Пример 3: Бесконечное множество решений

Задача: x + 2y = 3, 2x + 4y = 6 (второе уравнение — удвоенное первое).

Rank(A) = rank([A|B]) = 1 < 2 переменных → система неопределённая. Решение: x = 3 − 2y, y — свободная переменная (любое число). Например: y = 0 ⇒ x = 3; y = 1 ⇒ x = 1.

Пример 4: Несовместная система

Задача: x + y = 2, x + y = 5.

Rank(A) = 1, rank([A|B]) = 2 → противоречие. Решений нет.

Проверка результата

Подставьте найденные значения в исходные уравнения:

1. Вычислите левую часть каждого уравнения.
2. Сравните с правой частью (свободным членом).
3. Допустимая погрешность округления: ±0,001–0,01 для десятичных дробей.

Калькулятор автоматически выполняет проверку и выводит невязку (отклонение). Если невязка > 0,01, пересмотрите ввод данных.

Применение и кейсы

Физика: законы Кирхгофа для электрических цепей — СЛАУ для токов и напряжений.

Экономика: модели затрат (издержки, выручка, прибыль) с несколькими переменными продукции.

Геометрия: нахождение точки пересечения плоскостей в 3D-пространстве (3 уравнения плоскостей).

Инженерия: расчёт распределения нагрузок в стержневых конструкциях (метод узловых перемещений).

Химия: уравнивание окислительно-восстановительных реакций через баланс зарядов и масс.

Советы и рекомендации

• Упрощайте перед вводом: умножьте уравнения на числа, чтобы избавиться от дробей (например, 0,5x → x после умножения на 2).
• Выбор метода: для систем > 3 используйте Гаусса; для 2–3 переменных Крамер быстрее в понимании.
• Проверка на опечатки: если ответ нереалистичен (огромные числа, дробь с знаменателем > 1000), проверьте ввод.
• Масштабирование: для прикладных задач приводите величины к одному масштабу (км → м, часы → секунды).
• Ограничения калькулятора: максимальная размерность обычно 10×10; для больших систем используйте специализированное ПО (MATLAB, Wolfram Alpha).

Ограничения и предупреждения

• Численная нестабильность: если коэффициенты различаются на много порядков (например, 0,001 и 10000), возможны ошибки округления. Используйте масштабирование.
• Особые случаи: системы с параметрами (например, коэффициент k) требуют анализа для разных значений k. Калькулятор работает только с конкретными числами.
• Комплексные числа: стандартные методы для действительных систем. Для комплексных переменных нужен специализированный инструмент.
• Переопределённые системы: если уравнений больше, чем переменных, система часто несовместна. Решается методом наименьших квадратов (не поддерживается базовым калькулятором).

Альтернативные способы решения

• Графический метод (для 2 переменных): построить прямые на координатной плоскости, найти точку пересечения. Неточен, но нагляден.
• Метод простых итераций: преобразование системы к виду x = f(y, z), y = g(x, z) и т.д., последовательное уточнение. Используется для больших разреженных систем.
• LU-разложение: разложение матрицы A = L·U (нижнетреугольная × верхнетреугольная), затем решение двух простых систем. Эффективно для многократного решения с разными правыми частями.
• Метод Якоби, Гаусса-Зейделя: итерационные методы для больших систем в численном анализе.

Справочные материалы

Основные формулы:

• Определитель 2×2: det = a₁₁·a₂₂ − a₁₂·a₂₁
• Определитель 3×3: разложение по первой строке через миноры и алгебраические дополнения
• Обратная матрица: A⁻¹ = (1/det A) · adj(A), где adj — присоединённая матрица

Стандарты: в российском школьном курсе СЛАУ изучаются в 7–9 классах (2–3 переменных), углублённо — в вузах (линейная алгебра). Требования ФГОС: умение решать системы 2×2 графически и алгебраически, 3×3 — методом подстановки или Гаусса.

Терминология

• Гомогенная система: все свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = 0). Всегда совместна (есть тривиальное решение x = y = z = 0).
• Фундаментальная система решений: базис пространства решений для гомогенной системы.
• Невязка: разность между левой и правой частями уравнения при подстановке приближённого решения.
• Обусловленность матрицы: мера чувствительности решения к малым изменениям входных данных. Число обусловленности cond(A) = ||A|| · ||A⁻¹||; если cond > 10⁶, система плохо обусловлена (требуется высокая точность).

Заключение

Онлайн калькулятор для систем линейных уравнений — незаменимый инструмент для студентов, инженеров и всех, кто сталкивается с алгебраическими задачами. Вы получаете точное решение с полным объяснением шагов за секунды. Поддержка методов Гаусса, Крамера и матричного покрывает 99 % практических случаев. Используйте калькулятор для проверки домашних заданий, прикладных расчётов или изучения алгоритмов решения.

Дисклеймер: Результаты калькулятора носят информационный характер. Для критически важных расчётов (инженерные проекты, финансовые модели) проверяйте решение альтернативными методами или консультируйтесь со специалистом. Разработчики не несут ответственности за последствия применения полученных данных.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.