Считать длины треугольника

4 мая 2026 г.

Расчёт длин сторон треугольника – задача, с которой сталкиваются при проектировании конструкций, решении геометрических задач и навигации. Способ, как считать длины треугольника, зависит от того, какие элементы уже известны: стороны, углы, площадь или высота.

Режим расчёта

Теорема Пифагора Теорема косинусов Теорема синусов Площадь и высота Стороны → углы

Прямоугольный треугольник

Катет a Первая сторона, прилегающая к прямому углу Катет b Вторая сторона, прилегающая к прямому углу Гипотенуза c Если известна гипотенуза, укажите один катет

Как рассчитать сторону прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – частный случай, где один угол равен 90°. Сторона напротив прямого угла – гипотенуза (c), две другие – катеты (a и b).

Теорема Пифагора связывает все три стороны:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Отсюда:

Гипотенуза: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
Катет: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$

Пример: катеты 3 и 4. Гипотенуза: $c = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Если известен острый угол α и один катет:

$a = c \cdot \sin \alpha$
$b = c \cdot \cos \alpha$
$c = \dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\cos \alpha}$

Теорема косинусов – универсальный способ

Для произвольного треугольника со сторонами a, b, c и углом γ напротив стороны c:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \gamma$$

Эта формула позволяет считать длину третьей стороны, когда известны две другие и угол между ними. При γ = 90° формула превращается в теорему Пифагора.

Обратная задача – найти угол по трём сторонам:

$$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

Пример: стороны a = 5, b = 7, угол γ = 60°.

$c^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60° = 74 - 70 \cdot 0{,}5 = 74 - 35 = 39$

$c = \sqrt{39} \approx 6{,}24$

Теорема синусов – когда известны углы

Если известна одна сторона и два угла, считать длины треугольника помогает теорема синусов:

$$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$$

где R – радиус описанной окружности.

Пример: сторона a = 10, углы α = 30°, β = 45°. Третий угол γ = 180° − 30° − 45° = 105°.

$b = \dfrac{a \cdot \sin \beta}{\sin \alpha} = \dfrac{10 \cdot \sin 45°}{\sin 30°} = \dfrac{10 \cdot 0{,}7071}{0{,}5} \approx 14{,}14$

Формула длины стороны через площадь и высоту

Площадь треугольника через сторону и проведённую к ней высоту:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$$

Отсюда длина стороны:

$$a = \frac{2S}{h_a}$$

Пример: площадь S = 30, высота hₐ = 6.

$a = \dfrac{2 \cdot 30}{6} = 10$

Длина стороны через периметр

Если известны периметр P и две другие стороны:

$$a = P - b - c$$

Для равностороннего треугольника со стороной a: $P = 3a$, откуда $a = P / 3$. Для равнобедренного с боковой стороной b: $a = P - 2b$.

Как считать длины треугольника: сводная таблица формул

Что известно	Формула	Применимо для
Два катета	$c = \sqrt{a^2 + b^2}$	Прямоугольный
Гипотенуза и катет	$a = \sqrt{c^2 - b^2}$	Прямоугольный
Две стороны и угол между ними	$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \gamma$	Любой
Одна сторона и два угла	$\dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta}$	Любой
Площадь и высота	$a = \dfrac{2S}{h_a}$	Любой
Периметр и две стороны	$a = P - b - c$	Любой
Три стороны (обратная задача)	$\cos \gamma = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$	Любой

Частые ошибки при расчёте

Угол в градусах вместо радиан. Большинство инженерных калькуляторов по умолчанию работают в градусах, но тригонометрические функции в языках программирования – в радианах. Перевод: $\text{рад} = \text{град} \cdot \pi / 180$.
Знак косинуса тупого угла. При угле больше 90° косинус отрицательный, и слагаемое $-2ab \cdot \cos \gamma$ становится положительным – сторона увеличивается.
Несуществующий треугольник. Сумма двух сторон всегда больше третьей. Если a + b ≤ c – такого треугольника не существует.

Расчёты носят справочный характер. Для проектных и строительных задач проверяйте результаты сертифицированными методами.

Часто задаваемые вопросы

Как найти длину третьей стороны прямоугольного треугольника?

Используйте теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Для катета – вычтите квадрат известного катета из квадрата гипотенузы и извлеките корень.

Можно ли считать длины треугольника, если известны только два угла?

Нет, двух углов недостаточно – такие треугольники подобны, но не равны. Нужна хотя бы одна сторона. С двумя углами и одной стороной работает теорема синусов.

Что делать, если известны три стороны и нужно найти угол?

Примените теорему косинусов в обратную сторону. Выразите косинус угла через длины сторон: cos A = (b² + c² − a²) / (2bc), затем найдите арккосинус.

Какова формула длины стороны через площадь и высоту?

Сторона равна удвоенной площади, поделённой на высоту, проведённую к этой стороне: a = 2S / hₐ. Это следует из формулы площади S = ½ · a · hₐ.