Обновлено:
Решите уравнение 6 - 4x² - 5x = 0
Ответ: корни уравнения 6 - 4x² - 5x = 0
x₁ = 0,75 (или 3/4)
x₂ = -2
Уравнение решено через дискриминант. Ниже – полное пошаговое решение с проверкой.
Калькулятор квадратных уравнений
Введите коэффициенты уравнения вида ax² + bx + c = 0. Виджет покажет пошаговое решение, построит график и проверит корни.
Пошаговое решение уравнения
Шаг 1. Приведение к стандартному виду
Исходное уравнение записано в нестандартной форме:
6 - 4x² - 5x = 0
Для применения формулы корней перепишем его в виде ax² + bx + c = 0:
-4x² - 5x + 6 = 0
Умножим обе части на -1, чтобы коэффициент при x² стал положительным:
4x² + 5x - 6 = 0
Теперь коэффициенты определены:
| Коэффициент | Значение |
|---|---|
| a | 4 |
| b | 5 |
| c | -6 |
Шаг 2. Вычисление дискриминанта
Формула дискриминанта:
D = b² - 4ac
Подставляем значения:
D = 5² - 4 × 4 × (-6)
D = 25 - (-96)
D = 25 + 96
D = 121
Дискриминант положительный (121 > 0), значит уравнение имеет два различных действительных корня.
Шаг 3. Нахождение корней
Формула корней квадратного уравнения:
x = (-b ± √D) / 2a
Вычисляем квадратный корень из дискриминанта:
√D = √121 = 11
Находим первый корень:
x₁ = (-5 + 11) / (2 × 4)
x₁ = 6 / 8
x₁ = 3/4 = 0,75
Находим второй корень:
x₂ = (-5 - 11) / (2 × 4)
x₂ = -16 / 8
x₂ = -2
Шаг 4. Проверка решения
Подставляем найденные значения в исходное уравнение 6 - 4x² - 5x = 0.
Проверка для x₁ = 0,75:
6 - 4(0,75)² - 5(0,75) = 0
6 - 4(0,5625) - 3,75 = 0
6 - 2,25 - 3,75 = 0
0 = 0 ✓
Проверка для x₂ = -2:
6 - 4(-2)² - 5(-2) = 0
6 - 4(4) + 10 = 0
6 - 16 + 10 = 0
0 = 0 ✓
Оба корня удовлетворяют уравнению – решение верное.
Альтернативные методы решения
Решение через теорему Виета
Для уравнения 4x² + 5x - 6 = 0 приведённая форма:
x² + (5/4)x - (6/4) = 0
x² + 1,25x - 1,5 = 0
По теореме Виета:
- Сумма корней: x₁ + x₂ = -1,25
- Произведение корней: x₁ × x₂ = -1,5
Проверяем найденные значения:
0,75 + (-2) = -1,25 ✓
0,75 × (-2) = -1,5 ✓
Решение через выделение полного квадрата
Уравнение 4x² + 5x - 6 = 0 делим на 4:
x² + (5/4)x - 3/2 = 0
Выделяем полный квадрат:
x² + (5/4)x + (5/8)² - (5/8)² - 3/2 = 0
(x + 5/8)² - 25/64 - 96/64 = 0
(x + 5/8)² = 121/64
x + 5/8 = ±11/8
Отсюда:
x₁ = 11/8 - 5/8 = 6/8 = 3/4
x₂ = -11/8 - 5/8 = -16/8 = -2
Типичные ошибки при решении
| Ошибка | Как избежать |
|---|---|
| Неправильный знак коэффициента c | Записывайте уравнение в стандартном виде перед расчётом |
| Ошибка в формуле дискриминанта | Запомните: D = b² минус 4ac |
| Потеря знака при извлечении корня | √121 = 11, но в формуле ±11 |
| Неверное деление на 2a | Знаменатель всегда 2a, а не 2 или a |
| Отсутствие проверки | Всегда подставляйте корни в исходное уравнение |
Когда дискриминант равен нулю
Если бы в нашем уравнении дискриминант был равен 0, формула упрощается:
x = -b / 2a
В этом случае уравнение имеет один корень кратности 2. Графически парабола касается оси X в одной точке.
Когда корней нет
При отрицательном дискриминанте (D < 0) квадратное уравнение не имеет действительных корней. В школьном курсе записывают ответ: «корней нет».
В старших классах вводят комплексные числа, где решение существует в виде:
x = (-b ± i√|D|) / 2a
где i – мнимая единица (i² = -1).
Применение квадратных уравнений
Квадратные уравнения встречаются в различных областях:
- Физика – расчёт траектории движения тела, брошенного под углом
- Экономика – поиск точки безубыточности, максимизация прибыли
- Геометрия – нахождение сторон фигур по площади
- Инженерия – расчёт нагрузок, сопротивлений, параметров цепей
Понимание метода решения через дискриминант необходимо для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ по математике.
Информация предоставлена в образовательных целях. Для проверки домашних заданий используйте калькулятор выше.
Часто задаваемые вопросы
Как проверить правильность решения квадратного уравнения?
Подставьте найденные корни в исходное уравнение. Если обе части равны нулю – решение верное. Для уравнения 6 - 4x² - 5x = 0 при x = 0,75: 6 - 4(0,5625) - 5(0,75) = 6 - 2,25 - 3,75 = 0. При x = -2: 6 - 4(4) - 5(-2) = 6 - 16 + 10 = 0.
Что делать, если дискриминант отрицательный?
Если дискриминант меньше нуля, уравнение не имеет действительных корней. В школьной программе это означает «корней нет». В старших классах рассматривают комплексные числа, где решение существует.
Можно ли решить это уравнение через теорему Виета?
Да, если привести уравнение к виду x² + px + q = 0. Для 4x² + 5x - 6 = 0 делим на 4: x² + 1,25x - 1,5 = 0. Сумма корней = -1,25, произведение = -1,5. Проверяем: 0,75 + (-2) = -1,25; 0,75 × (-2) = -1,5.
Зачем приводить уравнение к стандартному виду?
Стандартный вид ax² + bx + c = 0 позволяет применять универсальные формулы. Коэффициент при x² должен быть положительным – это упрощает расчёты и снижает риск ошибок со знаками при вычислении дискриминанта.
Сколько корней может быть у квадратного уравнения?
Два различных корня при D > 0, один корень при D = 0, ни одного действительного корня при D < 0. В нашем случае дискриминант равен 121, поэтому уравнение имеет два различных корня.