Обновлено:
Решение уравнения $(2x-7)^2 = (3x-2)^2$
Уравнения вида $(ax + b)^2 = (cx + d)^2$ часто встречаются в школьной программе и на экзаменах. Разберём конкретный пример: решите уравнение $(2x - 7)^2 = (3x - 2)^2$, решение которого можно получить двумя способами.
Как решить уравнение $(2x - 7)^2 = (3x - 2)^2$ через разность квадратов?
Самый быстрый подход – воспользоваться формулой $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Перенесём правую часть влево:
$$(2x - 7)^2 - (3x - 2)^2 = 0$$Разложим как разность квадратов:
$$((2x - 7) - (3x - 2)) \cdot ((2x - 7) + (3x - 2)) = 0$$Упростим каждую скобку:
- Первая: $2x - 7 - 3x + 2 = -x - 5$
- Вторая: $2x - 7 + 3x - 2 = 5x - 9$
Получаем:
$$(-x - 5)(5x - 9) = 0$$Приравниваем каждый множитель к нулю:
- $-x - 5 = 0 \Rightarrow x = -5$
- $5x - 9 = 0 \Rightarrow x = \frac{9}{5} = 1{,}8$
Ответ: $x = -5$ и $x = 1{,}8$ (или $x = \frac{9}{5}$).
Решение через раскрытие скобок
Если формулу разности квадратов вспомнить сложно, раскроем квадраты по формулам $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$$(2x - 7)^2 = 4x^2 - 28x + 49$$$$(3x - 2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$$Приравняем:
$$4x^2 - 28x + 49 = 9x^2 - 12x + 4$$Перенесём всё в правую часть:
$$5x^2 + 16x - 45 = 0$$Вычислим дискриминант:
$$D = 16^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 256 + 900 = 1156 = 34^2$$Найдём корни:
$$x = \frac{-16 \pm 34}{10}$$- $x_1 = \frac{-16 + 34}{10} = \frac{18}{10} = 1{,}8$
- $x_2 = \frac{-16 - 34}{10} = \frac{-50}{10} = -5$
Результат совпадает: $x = -5$ и $x = 1{,}8$.
Проверка корней
Подставим каждый корень в исходное уравнение $(2x - 7)^2 = (3x - 2)^2$.
При $x = -5$:
- Левая часть: $(2 \cdot (-5) - 7)^2 = (-17)^2 = 289$
- Правая часть: $(3 \cdot (-5) - 2)^2 = (-17)^2 = 289$
При $x = 1{,}8$:
- Левая часть: $(2 \cdot 1{,}8 - 7)^2 = (3{,}6 - 7)^2 = (-3{,}4)^2 = 11{,}56$
- Правая часть: $(3 \cdot 1{,}8 - 2)^2 = (5{,}4 - 2)^2 = (3{,}4)^2 = 11{,}56$
Оба корня удовлетворяют уравнению.
Интерактивный помощник: решение уравнения
Решите уравнение (2x - 7)² = (3x - 2)² самостоятельно или посмотрите подробный
разбор методами ниже.
Метод 1: Разность квадратов (рекомендуемый)
1. Перенесем всё влево: (2x - 7)² - (3x - 2)² = 0
2. Применим a² - b² = (a - b)(a + b):
((2x - 7) - (3x - 2)) · ((2x - 7) + (3x - 2)) = 0
3. Упростим скобки:
(2x - 7 - 3x + 2) = (-x - 5)(2x - 7 + 3x - 2) = (5x - 9)
4. Получим (-x - 5)(5x - 9) = 0. Ответы: x = -5 и
x = 1,8.
Метод 2: Раскрытие скобок
1. Раскроем квадраты: 4x² - 28x + 49 = 9x² - 12x + 4
2. Перенесем всё вправо: 5x² + 16x - 45 = 0
3. Дискриминант D = 16² - 4 · 5 · (-45) = 256 + 900 = 1156 (34²)
4. Корни x = (-16 ± 34) / 10. Ответы те же: x = -5 и
x = 1,8.
Почему возникает второй корень?
Уравнение $(2x - 7)^2 = (3x - 2)^2$ равносильно тому, что модули выражений равны: $|2x - 7| = |3x - 2|$. Это означает, что значения $2x - 7$ и $3x - 2$ либо совпадают, либо противоположны по знаку:
- $2x - 7 = 3x - 2$ – выражения равны, отсюда $x = -5$
- $2x - 7 = -(3x - 2)$ – выражения противоположны, отсюда $5x = 9$, то есть $x = 1{,}8$
Именно поэтому уравнение с квадратами даёт два корня, а не один.
Какой метод выбрать?
| Метод | Плюсы | Минусы |
|---|---|---|
| Разность квадратов | 2 шага до линейных уравнений | Нужно знать формулу |
| Раскрытие скобок | Универсальный подход | Длиннее, нужен дискриминант |
| Через модули | Хорошо видно суть | 4 случая раскрытия |
Для экзаменов и контрольных оптимальна разность квадратов – она сокращает вычисления в 2–3 раза.
Данная статья носит образовательный характер. При подготовке к экзаменам сверяйтесь с актуальными учебными пособиями.
Часто задаваемые вопросы
Сколько корней имеет уравнение $(2x-7)^2 = (3x-2)^2$?
Уравнение имеет два корня: $x = -5$ и $x = \frac{9}{5} = 1{,}8$. Оба значения обращают левую и правую части в равные числа.
Зачем делать проверку при решении уравнения возведением в квадрат?
Возведение в квадрат может создать посторонние корни, если исходное уравнение содержало корни или модули. В данном случае проверка подтверждает, что оба корня подходят.
Можно ли решить уравнение $(2x-7)^2 = (3x-2)^2$ через извлечение корня?
Да, извлечение квадратного корня даёт $|2x-7| = |3x-2|$, что приводит к четырём случаям раскрытия модулей. Этот путь длиннее, но результат тот же.
Какой метод решения быстрее – разность квадратов или раскрытие скобок?
Разность квадратов быстрее: уравнение сразу раскладывается на два линейных. Раскрытие скобок требует вычисления дискриминанта, что дольше, но даёт тот же результат.