Онлайн-калькулятор квадратного уравнения
Введите коэффициенты уравнения ax² + bx + c = 0 – и калькулятор мгновенно найдёт корни, покажет дискриминант и проверит ответ по формулам Виета.
Результаты носят вычислительный характер. При решении учебных задач сверяйтесь с условием задачи и требованиями к точности.
Как калькулятор решает квадратное уравнение
Расчёт идёт по стандартному алгоритму из школьного курса алгебры – никакой магии, только три шага.
Шаг 1. Вычисляется дискриминант:
D = b² − 4ac
Это ключевое число: оно определяет, сколько корней имеет уравнение.
Шаг 2. По значению D определяется количество корней:
| Значение D | Количество корней | Что это означает |
|---|---|---|
| D > 0 | 2 различных корня | Парабола пересекает ось x в двух точках |
| D = 0 | 1 кратный корень | Парабола касается оси x в одной точке |
| D < 0 | Нет вещественных корней | Парабола не пересекает ось x |
Шаг 3. Корни вычисляются по формуле:
x₁ = (−b + √D) / (2a)
x₂ = (−b − √D) / (2a)
При D = 0 обе формулы дают одно и то же значение: x = −b / (2a).
Калькулятор также автоматически проверяет ответ через формулы Виета:
- x₁ + x₂ должна равняться −b/a
- x₁ · x₂ должна равняться c/a
Если проверка не сходится – значит, где-то ошибка во вводе.
Разбор примеров: от простого к сложному
Пример 1. Два разных корня
Уравнение: 2x² − 5x + 3 = 0
- a = 2, b = −5, c = 3
- D = (−5)² − 4 · 2 · 3 = 25 − 24 = 1
- x₁ = (5 + 1) / 4 = 1,5
- x₂ = (5 − 1) / 4 = 1
Проверка по Виета: 1,5 + 1 = 2,5 = 5/2 ✓ и 1,5 · 1 = 1,5 = 3/2 ✓
Пример 2. Один кратный корень
Уравнение: x² − 6x + 9 = 0
- a = 1, b = −6, c = 9
- D = 36 − 36 = 0
- x = 6 / 2 = 3
Это можно было сразу заметить: x² − 6x + 9 = (x − 3)².
Пример 3. Нет вещественных корней
Уравнение: x² + x + 1 = 0
- D = 1 − 4 = −3
Корней в вещественных числах нет. В комплексных числах: x = (−1 ± i√3) / 2.
Пример 4. Неполное уравнение (b = 0)
Уравнение: 3x² − 27 = 0
- D = 0 − 4 · 3 · (−27) = 324
- x₁ = 18 / 6 = 3, x₂ = −18 / 6 = −3
Или короче: 3x² = 27 → x² = 9 → x = ±3.
Какой метод решения выбрать – без калькулятора
Формула дискриминанта универсальна, но в задачах с аккуратными числами часто быстрее сработают другие методы.
Разложение на множители подходит, когда корни – целые числа. Нужно представить уравнение в виде a(x − x₁)(x − x₂) = 0. Например, x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2 или x = 3.
Теорема Виета (обратная задача) удобна для уравнения с a = 1: нужно найти два числа, сумма которых равна −b, а произведение – c. Для x² − 7x + 12 = 0: ищем числа с суммой 7 и произведением 12 → это 3 и 4.
Выделение полного квадрата – метод, из которого и выводится формула дискриминанта. Применяется, когда нужно привести уравнение к виду (x + p)² = q. Полезен при работе с параболой.
Если числа некрасивые (дробные коэффициенты, большие значения) – используйте формулу дискриминанта или калькулятор выше.
Связь с графиком параболы
Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 геометрически – это вопрос о том, где парабола y = ax² + bx + c пересекает ось x.
- a > 0 – парабола открыта вверх (ветви смотрят вверх)
- a < 0 – парабола открыта вниз
Вершина параболы находится в точке x₀ = −b / (2a), а её y-координата равна −D / (4a). Именно поэтому знак дискриминанта определяет расположение параболы относительно оси x: при D > 0 она её пересекает, при D = 0 касается, при D < 0 – вообще не достигает.
Это объясняет, почему при a > 0 и D < 0 уравнение не имеет решений: парабола целиком находится выше оси x, и обнулить её невозможно.
Типичные ошибки при решении вручную
Ошибка знака при b. В формуле стоит −b, а не b. Если b = −5, то −b = +5. Путаница здесь – самый распространённый источник неверных ответов.
Забытый множитель 2a в знаменателе. Деление нужно выполнять на 2a целиком, а не на a или на 2 по отдельности.
Неверное вычисление дискриминанта при отрицательном b. b² всегда положительно: (−5)² = 25, не −25.
Пропуск одного корня. При D > 0 уравнение всегда имеет два корня. Ответ «x = 3» без второго корня – неполный.
Деление на a = 0. Если коэффициент a равен нулю, это уже не квадратное уравнение. Калькулятор выше выдаст предупреждение в таком случае.
Часто задаваемые вопросы
Что такое квадратное уравнение?
Квадратное уравнение – это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Коэффициент a при старшей степени не может быть нулём, иначе уравнение становится линейным. Примеры: 2x² − 5x + 3 = 0 или x² − 4 = 0.
Что делать, если коэффициент b или c равен нулю?
Это допустимо. Если b = 0, уравнение принимает вид ax² + c = 0 и называется неполным. Если c = 0 – уравнение ax² + bx = 0 имеет корень x = 0. Калькулятор корректно обрабатывает все такие случаи.
Может ли квадратное уравнение иметь один корень?
Да, если дискриминант D = 0. Тогда оба корня совпадают: x = −b / (2a). Это называется кратным корнем или корнем кратности 2. Пример: x² − 4x + 4 = 0 → x = 2.
Что означает отрицательный дискриминант?
При D < 0 уравнение не имеет вещественных корней. В комплексных числах решение существует, но в школьном курсе такое уравнение считается не имеющим решения. Калькулятор сообщит об этом явно.
Чем отличается формула дискриминанта от формулы корней?
Дискриминант D = b² − 4ac – вспомогательное число, которое определяет количество корней. Формула корней x = (−b ± √D) / (2a) использует уже вычисленный дискриминант для нахождения самих значений x.
Можно ли решить квадратное уравнение без формулы дискриминанта?
Да. Существуют методы разложения на множители, выделения полного квадрата и теорема Виета. Разложение на множители быстрее, но применимо не всегда. Формула дискриминанта универсальна и работает в любом случае.
Как проверить правильность найденных корней?
Подставьте каждый корень обратно в уравнение ax² + bx + c = 0. Если левая часть обращается в ноль, корень найден верно. Также можно использовать формулы Виета: x₁ + x₂ = −b/a и x₁ · x₂ = c/a.
Работает ли калькулятор с дробными и отрицательными коэффициентами?
Да, принимаются любые вещественные числа: целые, дробные (через точку) и отрицательные. Например, a = 0.5, b = −3, c = 1.25. Результат также выводится в вещественных числах с точностью до четырёх знаков.