Решить квадратное уравнение онлайн

Бесплатный онлайн-калькулятор для нахождения корней квадратных уравнений любой сложности с подробным решением и объяснением каждого шага

Обновлено:

Содержание статьи
Коэффициенты квадратного уравнения ax² + bx + c = 0
Не должен быть равен нулю
Может быть любым числом
Может быть любым числом

Что такое квадратное уравнение

Квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение второй степени общего вида ax² + bx + c = 0, где a, b и c — это числовые коэффициенты, причем a ≠ 0. Коэффициент a называется старшим, b — вторым или линейным, c — свободным членом.

Если коэффициент a равен нулю, уравнение перестает быть квадратным и превращается в линейное. Квадратные уравнения встречаются повсеместно в математике, физике, экономике и инженерных расчетах при решении задач на оптимизацию, траектории движения, площади и многих других.

Как пользоваться калькулятором

Наш онлайн-калькулятор позволяет быстро найти корни любого квадратного уравнения:

  1. Введите коэффициент a (число перед x²) в первое поле
  2. Введите коэффициент b (число перед x) во второе поле
  3. Введите свободный член c в третье поле
  4. Нажмите кнопку «Решить»
  5. Получите подробное решение с дискриминантом и корнями

Калькулятор автоматически определит тип уравнения, вычислит дискриминант и найдет все корни с пошаговым объяснением. Вы можете вводить как целые, так и дробные числа, положительные и отрицательные значения.

Формула решения через дискриминант

Классический метод решения квадратного уравнения основан на вычислении дискриминанта:

D = b² - 4ac

В зависимости от значения дискриминанта определяется количество и тип корней:

Формулы для нахождения корней:

x₁ = (-b + √D) / 2a

x₂ = (-b - √D) / 2a

Когда дискриминант равен нулю, используется упрощенная формула: x = -b / 2a.

Примеры решения квадратных уравнений

Пример 1: Два корня

Решим уравнение x² - 5x + 6 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -5, c = 6

  1. Вычисляем дискриминант: D = (-5)² - 4·1·6 = 25 - 24 = 1
  2. Дискриминант положительный, есть два корня
  3. x₁ = (5 + √1) / 2 = (5 + 1) / 2 = 3
  4. x₂ = (5 - √1) / 2 = (5 - 1) / 2 = 2

Ответ: x₁ = 3, x₂ = 2

Пример 2: Один корень

Решим уравнение 4x² - 12x + 9 = 0

Коэффициенты: a = 4, b = -12, c = 9

  1. Вычисляем дискриминант: D = (-12)² - 4·4·9 = 144 - 144 = 0
  2. Дискриминант равен нулю, один корень
  3. x = 12 / (2·4) = 12 / 8 = 1,5

Ответ: x = 1,5

Пример 3: Нет действительных корней

Решим уравнение x² + 2x + 5 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 2, c = 5

  1. Вычисляем дискриминант: D = 2² - 4·1·5 = 4 - 20 = -16
  2. Дискриминант отрицательный

Ответ: действительных корней нет

Особые случаи квадратных уравнений

Неполные квадратные уравнения

Если b = 0, уравнение имеет вид ax² + c = 0. Решение: x = ±√(-c/a), если -c/a ≥ 0.

Если c = 0, уравнение имеет вид ax² + bx = 0. Решение: x₁ = 0, x₂ = -b/a.

Если b = 0 и c = 0, уравнение имеет вид ax² = 0. Решение: x = 0.

Приведенное квадратное уравнение

Когда a = 1, уравнение называется приведенным: x² + bx + c = 0. Для таких уравнений удобно использовать теорему Виета, которая связывает коэффициенты и корни без вычисления дискриминанта.

Применение квадратных уравнений

Квадратные уравнения используются для решения практических задач:

Онлайн-калькулятор особенно полезен студентам, школьникам и всем, кто работает с математическими вычислениями, экономя время на рутинных расчетах и проверке домашних заданий.

Часто задаваемые вопросы

Как решить квадратное уравнение через дискриминант?

Сначала вычислите дискриминант по формуле D = b² - 4ac. Если D > 0, уравнение имеет два корня: x₁ = (-b + √D) / 2a и x₂ = (-b - √D) / 2a. Если D = 0, один корень: x = -b / 2a. Если D < 0, действительных корней нет.

Что делать, если дискриминант отрицательный?

Отрицательный дискриминант означает, что квадратное уравнение не имеет действительных корней. В области комплексных чисел существуют два комплексно-сопряженных корня, но для большинства школьных задач ответ: корней нет.

Можно ли решить квадратное уравнение без дискриминанта?

Да, существуют альтернативные методы: разложение на множители, выделение полного квадрата, теорема Виета, графический способ. Однако метод через дискриминант универсален и работает для любого квадратного уравнения.

Как проверить правильность решения квадратного уравнения?

Подставьте найденные корни в исходное уравнение. Если после подстановки левая часть равна нулю, решение верное. Также можно использовать теорему Виета: сумма корней должна равняться -b/a, а произведение — c/a.

Что такое неполное квадратное уравнение?

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором один или оба коэффициента b или c равны нулю. Такие уравнения решаются проще: ax² = 0, ax² + c = 0 или ax² + bx = 0 не требуют формулы дискриминанта.

Почему калькулятор показывает иррациональные корни?

Когда дискриминант не является полным квадратом числа, корни содержат квадратный корень и являются иррациональными. Это нормальное математическое явление, такие числа имеют бесконечную непериодическую десятичную дробь.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.