Решение систем уравнений онлайн: калькулятор

Быстрое и точное решение систем уравнений с подробным описанием шагов. Подходит для проверки домашних заданий и изучения алгебры.

Обновлено:

Содержание статьи
Параметры системы Выберите количество переменных. Для школьных задач обычно 2x2. Для ВУЗов - 3x3.
Коэффициенты уравнений
Введите числа перед x, y, z и свободные члены (числа после знака =).

Решение систем уравнений — одна из базовых и наиболее важных тем в курсе алгебры и высшей математики. Наш онлайн-инструмент позволяет быстро найти корни системы, проверить правильность ручных вычислений и разобраться в алгоритме решения. Вне зависимости от того, школьник вы, студент или инженер, этот калькулятор сэкономит ваше время и поможет избежать арифметических ошибок.

Как пользоваться калькулятором

Для получения ответа и подробного хода решения выполните следующие простые действия:

  1. Выберите размерность системы: Укажите количество уравнений и количество неизвестных переменных в системе (обычно эти числа совпадают, например, 2 уравнения и 2 неизвестные).
  2. Введите коэффициенты: Заполните поля ввода числами, стоящими перед переменными (x, y, z и т.д.), и свободными членами (числами после знака равенства).
  3. Выберите метод (опционально): Если вам требуется решение конкретным способом (например, методом Крамера), выберите его в настройках. По умолчанию используется наиболее оптимальный метод.
  4. Нажмите кнопку «Рассчитать»: Система мгновенно обработает данные.
  5. Изучите результат: Ниже появится ответ (значения переменных) и последовательное описание того, как этот ответ был получен.

Теория: Основные методы решения систем

Существует несколько способов нахождения корней системы линейных уравнений (СЛУ). Рассмотрим самые популярные из них, которые применяются в школьной и вузовской программе.

Метод подстановки

Этот метод наиболее интуитивен и часто используется для простых систем из двух уравнений.

Алгоритм:

  1. Выразить одну переменную через другую из любого уравнения системы (желательно из того, где коэффициент при переменной равен 1).
  2. Подставить полученное выражение в другое уравнение.
  3. Решить полученное уравнение с одной переменной.
  4. Найти значение второй переменной, подставив найденный корень в исходное выражение.

Метод алгебраического сложения

Этот способ удобен, когда коэффициенты при одной из переменных являются противоположными числами (или их легко привести к такому виду).

Алгоритм:

  1. Умножить уравнения системы на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными (например, 2 и -2).
  2. Сложить уравнения почленно. В результате одна переменная исчезнет.
  3. Решить полученное линейное уравнение.
  4. Подставить найденное значение в любое из исходных уравнений и найти вторую переменную.

Метод Крамера (через определители)

Используется в высшей математике для решения систем, где количество уравнений равно количеству неизвестных, а определитель основной матрицы системы не равен нулю.

Для нахождения корней вычисляются:

Метод Гаусса

Универсальный метод, который заключается в последовательном исключении переменных. С помощью элементарных преобразований расширенная матрица системы приводится к ступенчатому (треугольному) виду, откуда затем легко находятся все переменные, двигаясь от последнего уравнения к первому.

Пример расчета

Рассмотрим решение простой системы линейных уравнений методом алгебраического сложения.

Дана система:

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - 3y = 5 \end{cases} $$

Решение:

  1. Обратим внимание, что коэффициенты при переменной $y$ уже являются противоположными числами ($3$ и $-3$).
  2. Сложим оба уравнения почленно: $$(2x + 4x) + (3y - 3y) = 7 + 5$$
  3. Получаем уравнение с одной переменной: $$6x = 12$$
  4. Находим $x$: $$x = \frac{12}{6}$$ $$x = 2$$
  5. Подставим значение $x = 2$ в первое уравнение, чтобы найти $y$: $$2(2) + 3y = 7$$ $$4 + 3y = 7$$ $$3y = 7 - 4$$ $$3y = 3$$ $$y = 1$$

Ответ: $x = 2, y = 1$ (или точка с координатами $(2; 1)$).

Используя наш онлайн-калькулятор, вы получите аналогичный подробный ответ за долю секунды, даже если коэффициенты будут дробными или большими числами.

Часто задаваемые вопросы

Какие методы решения поддерживает калькулятор?

Наш инструмент может решать системы уравнений методом подстановки, алгебраического сложения, а также матричными методами (Крамера, Гаусса, обратной матрицы).

Как записать систему уравнений для решения?

Введите коэффициенты при переменных (x, y, z) и свободные члены в соответствующие поля. Вы можете выбрать количество уравнений и неизвестных перед вводом.

Можно ли решить систему из 3 и более уравнений?

Да, калькулятор справляется с системами линейных уравнений с двумя, тремя и четырьмя неизвестными (2x2, 3x3, 4x4).

Показывает ли калькулятор ход решения?

Да, после нажатия кнопки расчета вы увидите не только ответ, но и пошаговый алгоритм нахождения корней выбранным методом.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.