Решение квадратных уравнений онлайн

Квадратные уравнения — одна из базовых тем алгебры, с которой сталкиваются школьники, студенты и специалисты технических направлений. Наш калькулятор позволяет быстро выполнить решение квадратных уравнений онлайн, предоставляя не только ответ, но и подробный ход вычислений. Это помогает проверить себя или разобраться в теме, если вы изучаете ее впервые.

Как пользоваться калькулятором

Инструмент разработан так, чтобы любой пользователь мог получить результат за несколько секунд. Для этого не нужно скачивать программы или регистрироваться.

1. Определите коэффициенты. Стандартное квадратное уравнение выглядит как ax² + bx + c = 0. Найдите числа, соответствующие буквам a, b и c.
   • a — коэффициент при x² (первый коэффициент).
   • b — коэффициент при x (второй коэффициент).
   • c — свободный член (число без икса).
2. Введите данные. Впишите значения в соответствующие поля калькулятора. Если какой-то член отсутствует (например, нет простого x, только x² и число), ставьте 0 в соответствующем поле.
3. Получите результат. Нажмите кнопку расчета. Система мгновенно вычислит дискриминант, найдет корни и покажет пошаговое решение.

Теория: как решаются квадратные уравнения

Чтобы понимать принцип работы калькулятора, полезно знать математическую основу. Полное квадратное уравнение решается в несколько этапов.

Шаг 1: Вычисление дискриминанта

Ключевым элементом в решении является дискриминант, который обозначается буквой D. От его значения зависит, сколько решений будет иметь уравнение.

Формула для нахождения дискриминанта: D = b² - 4ac

Шаг 2: Анализ дискриминанта

После того как значение D найдено, возможны три сценария:

1. D > 0 (положительный). Уравнение имеет два различных действительных корня.
2. D = 0 (равен нулю). Уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня).
3. D < 0 (отрицательный). Уравнение не имеет действительных корней. (В высшей математике существуют комплексные корни, но в рамках школьной программы обычно пишется “корней нет”).

Шаг 3: Нахождение корней

Если корни существуют, они вычисляются по следующей формуле:

x = (-b ± √D) / 2a

То есть:

• Первый корень (x₁): (-b + √D) / 2a
• Второй корень (x₂): (-b - √D) / 2a

Если D = 0, то формула упрощается до x = -b / 2a.

Примеры решения уравнений

Рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть, как формулы работают на практике.

Пример 1: Два корня

Уравнение: x² - 5x + 6 = 0 Здесь коэффициенты: a = 1, b = -5, c = 6.

1. Находим дискриминант: D = (-5)² - 4 × 1 × 6 = 25 - 24 = 1. Так как 1 > 0, будет два корня.
2. Находим корни: Корень из дискриминанта (√1) равен 1. x₁ = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3 x₂ = (5 - 1) / 2 = 4 / 2 = 2 Ответ: 3 и 2.

Пример 2: Один корень

Уравнение: x² + 4x + 4 = 0 Коэффициенты: a = 1, b = 4, c = 4.

1. Находим дискриминант: D = 4² - 4 × 1 × 4 = 16 - 16 = 0. Уравнение имеет один корень.
2. Находим корень: x = -4 / (2 × 1) = -2. Ответ: -2.

Пример 3: Нет корней

Уравнение: x² + 3x + 10 = 0 Коэффициенты: a = 1, b = 3, c = 10.

1. Находим дискриминант: D = 3² - 4 × 1 × 10 = 9 - 40 = -31. Так как -31 < 0, действительных корней нет. Ответ: корней нет.

Теорема Виета

Существует альтернативный способ решения приведенных квадратных уравнений (где коэффициент a = 1). Этот метод называется теоремой Виета. Согласно ей:

• Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком: x₁ + x₂ = -b
• Произведение корней равно свободному члену: x₁ × x₂ = c

Этот метод удобен для устного счета простых уравнений, но наш калькулятор использует универсальный метод через дискриминант, чтобы гарантировать верный результат для любых, даже самых сложных чисел.

Неполные квадратные уравнения

Иногда в уравнении отсутствуют слагаемые с bx или c. Такие уравнения называются неполными, но решаются они по тем же принципам.

• Если b = 0 (вид ax² + c = 0), уравнение решается переносом c в правую часть: x² = -c/a.
• Если c = 0 (вид ax² + bx = 0), выносится x за скобку: x(ax + b) = 0. Отсюда первый корень всегда равен 0, а второй находится из скобки.

Наш онлайн-инструмент автоматически определяет тип уравнения и выдает корректное решение для любого случая.

Часто задаваемые вопросы

Что ещё может пригодиться после

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.