Разложить число

Что такое разложение числа на простые множители

Разложение числа на простые множители (факторизация) — это представление натурального числа в виде произведения простых чисел. Любое натуральное число больше 1 можно единственным образом представить как произведение простых множителей.

Простое число — натуральное число больше 1, которое делится без остатка только на 1 и на само себя. Первые простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47…

Примеры разложения:

• 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
• 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
• 100 = 2 × 2 × 5 × 5 = 2² × 5²
• 17 = 17 (простое число)

Согласно основной теореме арифметики, такое разложение существует и единственно с точностью до порядка множителей.

Как пользоваться калькулятором

Онлайн-калькулятор выполняет факторизацию автоматически:

1. Введите натуральное число (от 2 до 10^15) в поле ввода
2. Нажмите кнопку «Разложить» или Enter
3. Получите результат: список простых множителей и каноническую форму записи
4. Калькулятор показывает пошаговое разложение и проверку через умножение

Поддерживаемые форматы:

• Целые числа: 360, 1024, 123456
• Большие числа: 999999999999, 123456789012345

Алгоритм факторизации числа

Метод пробных делений

Классический способ разложения — последовательное деление на простые числа:

1. Начните с наименьшего простого числа (2)
2. Делите исходное число на текущий делитель, пока оно делится нацело
3. Переходите к следующему простому числу
4. Продолжайте до тех пор, пока частное не станет равным 1

Пример для числа 360:

• 360 ÷ 2 = 180
• 180 ÷ 2 = 90
• 90 ÷ 2 = 45
• 45 ÷ 3 = 15
• 15 ÷ 3 = 5
• 5 ÷ 5 = 1

Результат: 360 = 2³ × 3² × 5

Оптимизация алгоритма

Для ускорения факторизации:

• Проверяйте делители только до √n (корень из числа)
• Если после √n остался множитель больше 1 — это простое число
• Используйте только простые делители (пропускайте составные)

Почему до √n? Если n = a × b и a ≤ b, то a ≤ √n. Все делители больше √n автоматически найдутся как парные.

Каноническая форма записи

Каноническая форма — запись разложения через степени простых множителей:

n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖ

где p₁, p₂, …, pₖ — различные простые числа, расположенные в порядке возрастания, a₁, a₂, …, aₖ — их показатели степени (натуральные числа).

Примеры:

• 72 = 2³ × 3²
• 1000 = 2³ × 5³
• 2310 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11
• 144 = 2⁴ × 3²

Каноническая форма упрощает нахождение НОД, НОК, количества делителей и другие операции.

Применение факторизации

Нахождение НОД и НОК

НОД (наибольший общий делитель) двух чисел — произведение общих простых множителей с наименьшими показателями.

НОК (наименьшее общее кратное) — произведение всех простых множителей с наибольшими показателями.

Пример: найти НОД и НОК чисел 60 и 90

• 60 = 2² × 3 × 5
• 90 = 2 × 3² × 5

НОД(60, 90) = 2¹ × 3¹ × 5¹ = 30
НОК(60, 90) = 2² × 3² × 5¹ = 180

Упрощение дробей

Разложение числителя и знаменателя помогает сократить дробь:

Пример: упростить дробь 360/504

• 360 = 2³ × 3² × 5
• 504 = 2³ × 3² × 7

Сокращаем общие множители 2³ × 3²:
360/504 = 5/7

Количество делителей

Если n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖ, то количество делителей:

τ(n) = (a₁ + 1) × (a₂ + 1) × … × (aₖ + 1)

Пример: сколько делителей у числа 360 = 2³ × 3² × 5¹?
τ(360) = (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 4 × 3 × 2 = 24 делителя

Криптография

Факторизация больших чисел лежит в основе алгоритма RSA-шифрования. Разложить произведение двух больших простых чисел (сотни цифр) практически невозможно за разумное время современными компьютерами — это обеспечивает стойкость шифра.

Примеры разложения чисел

Малые числа

Степени двойки

Степени двойки имеют простейшее разложение:

• 64 = 2⁶
• 128 = 2⁷
• 256 = 2⁸
• 512 = 2⁹
• 1024 = 2¹⁰

Числа с несколькими простыми множителями

Пример 1: 210

• 210 = 2 × 3 × 5 × 7
• Четыре различных простых множителя

Пример 2: 1001

• 1001 = 7 × 11 × 13
• Три последовательных простых числа

Пример 3: 2520

• 2520 = 2³ × 3² × 5 × 7
• Наименьшее число, делящееся на все числа от 1 до 10

Большие числа

Пример: 123456

• 123456 = 2⁶ × 3 × 643
• 643 — простое число

Пример: 1000000

• 1000000 = 2⁶ × 5⁶ = (2 × 5)⁶ = 10⁶
• Миллион — шестая степень десяти

Особые случаи

Простые числа

Простое число раскладывается только на само себя:

• 2 = 2
• 17 = 17
• 101 = 101
• 9973 = 9973

Для проверки простоты числа до 100 достаточно перебрать делители 2, 3, 5, 7.

Числа-произведения близких простых

Некоторые числа — произведения двух близких простых чисел:

• 15 = 3 × 5
• 35 = 5 × 7
• 143 = 11 × 13
• 323 = 17 × 19

Такие числа сложнее факторизовать, чем числа с малыми множителями.

Полные квадраты

Полный квадрат — все показатели степеней чётные:

• 36 = 2² × 3² = 6²
• 144 = 2⁴ × 3² = 12²
• 225 = 3² × 5² = 15²

Признак: √n — целое число.

Факториалы

Факториал n! содержит все простые числа до n:

• 10! = 3628800 = 2⁸ × 3⁴ × 5² × 7
• 12! = 479001600 = 2¹⁰ × 3⁵ × 5² × 7 × 11

Таблица простых чисел до 200

Первые простые числа для ручного разложения:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199

Всего 46 простых чисел до 200. Зная их наизусть, можно легко раскладывать небольшие числа.

Проверка правильности разложения

После факторизации проверьте результат умножением:

Метод 1: Перемножить все множители
Если 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5, то:
2 × 2 = 4
4 × 2 = 8
8 × 3 = 24
24 × 3 = 72
72 × 5 = 360 ✓

Метод 2: Использовать степени
Если 360 = 2³ × 3² × 5, то:
2³ = 8
3² = 9
8 × 9 × 5 = 360 ✓

Метод 3: Онлайн-калькулятор
Введите произведение множителей в калькулятор и сравните с исходным числом.

Советы и рекомендации

1. Начинайте с двойки — половина всех чисел делится на 2
2. Признаки делимости помогают быстрее найти множители:
   • На 2: последняя цифра чётная
   • На 3: сумма цифр делится на 3
   • На 5: последняя цифра 0 или 5
   • На 9: сумма цифр делится на 9
3. Таблица умножения — знание квадратов и произведений ускоряет процесс
4. Калькулятор — для больших чисел используйте автоматическое разложение
5. Простые числа — запомните простые числа до 50 для быстрого разложения

Ограничения и сложность

Вычислительная сложность

Факторизация больших чисел — вычислительно сложная задача:

• Для числа n алгоритм пробных делений требует O(√n) операций
• Для 15-значного числа может потребоваться до 10⁷ проверок
• Современные алгоритмы (квадратичное решето, метод эллиптических кривых) эффективнее, но всё равно медленные для огромных чисел

Практические ограничения

• Калькулятор: числа до 10¹⁵ (1 квадриллион)
• Ручное разложение: числа до 10000 реально разложить за несколько минут
• Криптография: числа из 300+ цифр практически не факторизуются

Пример сложного числа:
RSA-2048 — число из 617 цифр, произведение двух простых чисел по ~309 цифр. Его факторизация невозможна с современными технологиями.

Заключение

Разложение числа на простые множители — фундаментальная операция в арифметике и теории чисел. Калькулятор позволяет мгновенно получить результат для любого натурального числа, показывает пошаговое разложение и каноническую форму. Факторизация применяется в школьной математике (НОД, НОК, дроби), высшей математике, криптографии и программировании.

Используйте калькулятор для проверки домашних заданий, решения задач, изучения свойств чисел и понимания структуры натуральных чисел.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.