Разложение числа на множители

Что такое разложение числа на простые множители

Разложение числа на простые множители — это представление натурального числа в виде произведения простых чисел. Простое число делится только на 1 и на само себя (2, 3, 5, 7, 11…). Любое составное число можно единственным образом разложить на простые множители — это основная теорема арифметики.

Например:

• 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
• 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
• 100 = 2 × 2 × 5 × 5 = 2² × 5²

Каноническая форма записи: n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖ, где p — простые числа в порядке возрастания, a — их степени.

Алгоритм разложения на множители

Метод последовательного деления

1. Проверяем делимость на 2: если число чётное, делим на 2 и записываем множитель. Повторяем, пока число нечётное.
2. Проверяем делимость на 3, 5, 7…: последовательно делим на следующие простые числа.
3. Продолжаем до √n: если делитель превысил квадратный корень из остатка — остаток сам простое число.
4. Записываем результат: группируем одинаковые множители в степени.

Пример пошагово: 252

• 252 ÷ 2 = 126 → множитель 2
• 126 ÷ 2 = 63 → множитель 2
• 63 ÷ 3 = 21 → множитель 3
• 21 ÷ 3 = 7 → множитель 3
• 7 — простое число → множитель 7

Результат: 252 = 2² × 3² × 7

Как пользоваться калькулятором

1. Введите натуральное число (от 2 до нескольких миллионов).
2. Нажмите «Вычислить» или Enter.
3. Получите:
   • Список всех простых множителей
   • Каноническое разложение с степенями
   • Пошаговый процесс факторизации
   • Проверку результата (произведение множителей)

Калькулятор автоматически определяет все простые делители и показывает полное решение.

Признаки делимости для ускорения

• На 2: последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8)
• На 3: сумма цифр делится на 3 (123: 1+2+3=6 → делится)
• На 5: последняя цифра 0 или 5
• На 9: сумма цифр делится на 9
• На 11: разность сумм цифр на чётных и нечётных позициях делится на 11

Эти правила помогают быстро найти начальные делители без пробных делений.

Примеры разложения

Пример 1: 180

• 180 ÷ 2 = 90
• 90 ÷ 2 = 45
• 45 ÷ 3 = 15
• 15 ÷ 3 = 5
• 5 — простое

180 = 2² × 3² × 5

Пример 2: 1001

• 1001 ÷ 7 = 143
• 143 ÷ 11 = 13
• 13 — простое

1001 = 7 × 11 × 13

Пример 3: 2048

• 2048 ÷ 2 = 1024
• Продолжаем деление на 2 одиннадцать раз

2048 = 2¹¹

Применение разложения на множители

Нахождение НОД и НОК

• НОД (наибольший общий делитель): берём общие простые множители в наименьших степенях
• НОК (наименьшее общее кратное): берём все простые множители в наибольших степенях

Пример: НОД(48, 180)

• 48 = 2⁴ × 3
• 180 = 2² × 3² × 5
• НОД = 2² × 3 = 12

Упрощение дробей

Разложение числителя и знаменателя позволяет сократить дробь на общие множители:

• 48/180 = (2⁴ × 3)/(2² × 3² × 5) = 2²/(3 × 5) = 4/15

Криптография

Алгоритм RSA основан на сложности факторизации произведения двух больших простых чисел. Разложение 200-значного числа может занять годы даже на суперкомпьютерах.

Особые случаи

Простые числа: разлагаются только на себя (например, 17 = 17).

Степени простых: 32 = 2⁵, 243 = 3⁵ — состоят из одного множителя.

Число 1: не раскладывается, так как не является ни простым, ни составным.

Отрицательные числа: раскладывают по модулю и добавляют знак «–» в начале: –36 = –1 × 2² × 3².

Проверка результата

Чтобы убедиться в правильности разложения:

1. Перемножьте все найденные множители с учётом степеней
2. Сравните произведение с исходным числом
3. Убедитесь, что все множители — простые числа

Калькулятор автоматически выполняет проверку и показывает её результат.

Советы и рекомендации

• Начинайте с наименьших простых чисел (2, 3, 5…)
• Используйте признаки делимости для ускорения
• Проверяйте делители только до √n
• Для больших чисел применяйте специализированные алгоритмы (метод Ферма, ро-алгоритм Полларда)
• Записывайте промежуточные результаты, чтобы не ошибиться

Разложение на простые множители — фундаментальная операция в математике, необходимая для решения широкого круга задач от школьной программы до современной криптографии.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.