Равные дроби

Определение равных дробей

Равные дроби (или эквивалентные дроби) — это дроби, которые представляют одну и ту же часть целого, несмотря на разные числители и знаменатели.

Простой пример: если разрезать торт пополам, получится 1/2. Если разрезать этот же торт на 4 части и взять 2 части — получится 2/4. Это одна и та же часть торта, поэтому:

$$\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$$

Основное свойство дроби

Фундаментальное правило для работы с равными дробями:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число (не равное нулю), получится дробь, равная исходной.

Математически:

$$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} = \frac{a : n}{b : n}$$

где a и b — числитель и знаменатель, n — любое число, не равное нулю.

Примеры равных дробей

Получение равной дроби умножением

Возьмем дробь 3/5 и получим равные ей дроби:

Все эти дроби равны между собой: 3/5 = 6/10 = 9/15 = 12/20 = 15/25

Получение равной дроби делением

Возьмем дробь 24/36 и сократим ее:

Все дроби равны: 24/36 = 12/18 = 8/12 = 6/9 = 2/3

Как проверить, равны ли две дроби

Метод 1: Перекрестное умножение

Две дроби равны, если произведение числителя первой дроби на знаменатель второй равно произведению числителя второй дроби на знаменатель первой.

Проверим, равны ли 2/3 и 8/12:

$$2 \times 12 = 24$$ $$3 \times 8 = 24$$

Результаты совпадают → дроби равны ✓

Проверим, равны ли 3/4 и 5/7:

$$3 \times 7 = 21$$ $$4 \times 5 = 20$$

Результаты не совпадают → дроби не равны ✗

Метод 2: Приведение к десятичной форме

Разделим числитель на знаменатель:

• 3/4 = 0,75
• 6/8 = 0,75

Результаты одинаковые → дроби равны ✓

Метод 3: Сокращение дроби

Сократим обе дроби до несократимого вида. Если получится одна и та же дробь, они равны.

12/18 и 8/12:

• 12/18 сокращаем на 6 → 2/3
• 8/12 сокращаем на 4 → 2/3

Обе дроби сократились в 2/3 → равны ✓

Где применяются равные дроби

Сложение и вычитание дробей

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно найти для них равные дроби с одинаковым знаменателем.

Пример: 1/3 + 1/4

Приведем к общему знаменателю 12:

• 1/3 = 4/12
• 1/4 = 3/12

Теперь складываем: 4/12 + 3/12 = 7/12

Сравнение дробей

Чтобы сравнить 2/5 и 3/7, приведем их к общему знаменателю 35:

• 2/5 = 14/35
• 3/7 = 15/35

Теперь видно: 14/35 < 15/35, значит 2/5 < 3/7

Упрощение вычислений

Вместо деления 36/48 можно использовать равную дробь 3/4, с которой работать проще.

Сокращение дробей

Сокращение — это деление числителя и знаменателя на их общий делитель. Результат — равная, но более простая дробь.

Правила сокращения:

1. Найди общий делитель числителя и знаменателя
2. Раздели оба числа на этот делитель
3. Повторяй, пока дробь не станет несократимой

Пример: сократить 20/30

• Оба числа делятся на 10
• 20 ÷ 10 = 2, 30 ÷ 10 = 3
• Результат: 2/3 (несократимая дробь)

Проверка: 2/3 = 20/30 ✓

Типичные ошибки

❌ Ошибка 1: Прибавлять или вычитать одно число к числителю и знаменателю

НЕПРАВИЛЬНО: 1/2 + 1 = 2/3 (это неверно!)
ПРАВИЛЬНО: 1/2 = 2/4 (умножаем оба на 2)

❌ Ошибка 2: Путать операции

НЕПРАВИЛЬНО: 1/2 × 2 = 1/4
ПРАВИЛЬНО: 1/2 × 2 = 2/4 (или 1/2)

❌ Ошибка 3: Забывать, что делитель не может быть нулем

НЕПРАВИЛЬНО: 1/2 × 0 = ???
ПРАВИЛЬНО: нельзя умножать на 0

Практические упражнения

Задача 1. Найди три дроби, равные 2/5

Решение: умножим числитель и знаменатель на 2, 3 и 4:

• 2/5 × 2 = 4/10
• 2/5 × 3 = 6/15
• 2/5 × 4 = 8/20

Задача 2. Проверь, равны ли 15/25 и 3/5

Решение: перекрестное умножение:

• 15 × 5 = 75
• 25 × 3 = 75

Да, равны ✓

Задача 3. Сократи дробь 18/24

Решение: найдем НОД(18, 24) = 6

• 18 ÷ 6 = 3
• 24 ÷ 6 = 4

Результат: 3/4

Равные дроби — это фундаментальное понятие в математике, необходимое для работы с дробями на любом уровне. Помни главное правило: если умножить или разделить числитель и знаменатель на одно число, дробь останется равной исходной. Используй эту логику для сравнения, сложения и упрощения дробей в своих расчетах.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.