Равносторонний треугольник вписанный в окружность

11 мая 2026 г.

Если известен радиус описанной окружности R, все параметры равностороннего треугольника, вписанного в эту окружность, вычисляются по простым формулам. Ниже – полный набор зависимостей с выводом и примерами расчёта.

Основные формулы: как найти элементы равностороннего треугольника по радиусу окружности

Параметр	Формула через R	Формула через сторону a
Сторона a	a = R√3	–
Высота h	h = 3R / 2	h = a√3 / 2
Площадь S	S = 3R²√3 / 4	S = a²√3 / 4
Периметр P	P = 3R√3	P = 3a
Радиус вписанной окружности r	r = R / 2	r = a√3 / 6
Радиус описанной окружности R	–	R = a√3 / 3

Ключевая связь: R = 2r – радиус описанной окружности равностороннего треугольника всегда вдвое больше радиуса вписанной.

Откуда берётся формула a = R√3?

Равносторонний треугольник – частный случай правильного многоугольника (n = 3). Центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан (центроидом).

Медиана (она же высота и биссектриса) равностороннего треугольника со стороной a:

$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Центроид делит медиану в отношении 2 : 1 от вершины. Расстояние от центра до вершины – это и есть радиус описанной окружности:

$$R = \frac{2}{3} \cdot h = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

Выразим сторону через радиус:

$$a = R\sqrt{3}$$

Все остальные формулы получаются подстановкой этого выражения в стандартные формулы для равностороннего треугольника.

Пример расчёта: R = 10 см

Дана окружность радиусом R = 10 см. Найдём параметры вписанного равностороннего треугольника.

Сторона:

$$a = 10\sqrt{3} \approx 17{,}32 \text{ см}$$

Высота:

$$h = \frac{3 \times 10}{2} = 15 \text{ см}$$

Площадь:

$$S = \frac{3 \times 100 \times \sqrt{3}}{4} = 75\sqrt{3} \approx 129{,}9 \text{ см}^2$$

Периметр:

$$P = 3 \times 10\sqrt{3} = 30\sqrt{3} \approx 51{,}96 \text{ см}$$

Радиус вписанной окружности:

$$r = \frac{10}{2} = 5 \text{ см}$$

Проверка: R / r = 10 / 5 = 2 – условие R = 2r выполняется.

Обратная задача: найти радиус окружности по стороне треугольника

Если задана сторона a, радиус описанной окружности:

$$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$

Пример: сторона a = 6 см.

$$R = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46 \text{ см}$$

Эта же формула следует из универсальной теоремы синусов для произвольного треугольника:

$$R = \frac{a}{2\sin A}$$

Для равностороннего треугольника A = 60°, sin 60° = √3 / 2:

$$R = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$

Как найти площадь, зная только радиус?

Формула площади через радиус описанной окружности – одна из самых востребованных:

$$S = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$$

Она удобна тем, что не требует предварительного вычисления стороны. Вывод:

Подставим a = R√3 в формулу S = a²√3 / 4.
S = (R√3)² · √3 / 4 = 3R² · √3 / 4.

Для быстрой оценки: S ≈ 1,299 · R². Площадь равностороннего треугольника примерно в 1,3 раза больше квадрата радиуса описанной окружности.

Частые ошибки при решении задач

Путаница R и r. Описанная окружность (R) проходит через вершины, вписанная (r) касается сторон. Формулы для них различаются вдвое.
Неверное деление медианы. Центроид делит медиану 2 : 1 от вершины, а не от стороны. Расстояние от центра до стороны – это r = R / 2, а не R.
Подстановка диаметра вместо радиуса. Если в задаче дан диаметр окружности D, сначала найдите R = D / 2, затем применяйте формулы.
Округление промежуточных значений. При цепочке вычислений сохраняйте √3 до финального шага, чтобы не накапливать погрешность.

Сводка формул для быстрого доступа

Если известен R (радиус описанной окружности):

a = R√3
h = 1,5R
S = 0,75R²√3
r = 0,5R
P = 3R√3

Если известен a (сторона):

R = a√3 / 3
r = a√3 / 6
h = a√3 / 2
S = a²√3 / 4

Часто задаваемые вопросы

Почему центр описанной окружности совпадает с центром равностороннего треугольника?

В равностороннем треугольнике все замечательные точки – центр описанной окружности, центр вписанной окружности, центроид и ортоцентр – совпадают. Это следствие полной симметрии фигуры: все три медианы, биссектрисы, высоты и серединные перпендикуляры проходят через одну точку.

Как связаны радиусы вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника?

Радиус описанной окружности ровно вдвое больше радиуса вписанной: R = 2r. Это уникальное свойство равностороннего треугольника, которое не выполняется для других типов треугольников.

Можно ли найти радиус описанной окружности, зная только площадь треугольника?

Да. Из формулы S = 3R²√3 / 4 выразите R: R = √(4S / (3√3)). Подставьте известную площадь и получите радиус описанной окружности.

Чему равен угол дуги окружности, стягиваемой стороной равностороннего треугольника?

Каждая сторона равностороннего треугольника стягивает дугу 360° / 3 = 120°. Вписанный угол, опирающийся на эту дугу из противоположной вершины, равен половине центрального, то есть 60°, что совпадает с углом самого треугольника.

Как вписать равносторонний треугольник в окружность с помощью циркуля?

Отметьте произвольную точку на окружности. Не меняя раствора циркуля (равного радиусу), последовательно откладывайте дуги: из первой точки – вторую, из второй – третью. Соедините через одну – три полученные точки образуют вершины равностороннего треугольника.

Какой процент площади круга занимает вписанный равносторонний треугольник?

Площадь треугольника S = 3R²√3 / 4, площадь круга S_кр = πR². Отношение равно 3√3 / (4π) ≈ 0,4135, то есть треугольник занимает примерно 41,3% площади круга.