Рассчитайте абсолютную погрешность расстояния

Как рассчитать абсолютную погрешность расстояния

Абсолютная погрешность расстояния возникает, когда скорость и время движения измерены с определённой ошибкой. Чтобы найти, насколько рассчитанный путь может отличаться от реального, применяют правило переноса погрешностей для произведения двух величин.

Формула расстояния при равномерном движении:

$$s = v \cdot t$$

Если скорость сама складывается из нескольких компонент (например, собственная скорость катера и скорость течения), сначала определяют суммарную скорость и её погрешность, а затем переносят ошибку на результат умножения.

Формула переноса погрешностей

Для произведения $s = A \cdot B$, где оба множителя имеют погрешность, абсолютная погрешность результата:

$$\Delta s = |\Delta A| \cdot B + A \cdot |\Delta B|$$

Где:

  • A – первый множитель (например, суммарная скорость, км/ч)
  • B – второй множитель (например, время, ч)
  • ΔA – абсолютная погрешность первого множителя
  • ΔB – абсолютная погрешность второго множителя

Если один из множителей известен точно (его погрешность равна нулю), соответствующее слагаемое исчезает.

Тип задачи
Исходные данные
Известна точно (погрешность = 0)
Средняя скорость течения
Абсолютная погрешность Δu
Будет автоматически переведено в часы
Абсолютная погрешность времени Δt
Проверим, достигнет ли объект этой отметки
Расчёт расстояния и погрешности
Формула: S = (v + u) × t
Итоговое расстояние (номинальное, S):
–
Абсолютная погрешность (ΔS):
–
Интервал возможных значений:
–
Запись для ВПР/физики:
–
Проверка прохождения дистанции

–

Подробный пошаговый протокол расчёта
  1. Введите данные для расчёта

Пошаговое решение задачи ВПР

Рассмотрим типовую задачу из банка ВПР по физике для 7 класса.

Условие. Катер движется по течению реки в течение $t = 57$ мин. Скорость катера в стоячей воде $v = 15$ км/ч, скорость течения $u = 5$ км/ч. Время известно с погрешностью $\Delta t = 1$ мин, скорость течения – с погрешностью $\Delta u = 1$ км/ч. Скорость катера в стоячей воде известна точно ($\Delta v = 0$).

Шаг 1. Находим расстояние

Суммарная скорость катера по течению:

$$v_{\text{общ}} = v + u = 15 + 5 = 20 \text{ км/ч}$$

Переводим время в часы:

$$t = \frac{57}{60} = 0{,}95 \text{ ч}$$

Расстояние:

$$s = v_{\text{общ}} \cdot t = 20 \cdot 0{,}95 = 19 \text{ км}$$

Шаг 2. Находим погрешность суммарной скорости

Погрешность суммы равна сумме погрешностей:

$$\Delta v_{\text{общ}} = \Delta v + \Delta u = 0 + 1 = 1 \text{ км/ч}$$

Шаг 3. Переводим погрешность времени в часы

$$\Delta t = 1 \text{ мин} = \frac{1}{60} \text{ ч}$$

Шаг 4. Рассчитываем абсолютную погрешность расстояния

Подставляем в формулу переноса:

$$\Delta s = \Delta v_{\text{общ}} \cdot t + v_{\text{общ}} \cdot \Delta t$$$$\Delta s = 1 \cdot \frac{57}{60} + 20 \cdot \frac{1}{60}$$$$\Delta s = \frac{57}{60} + \frac{20}{60} = \frac{77}{60} \approx 1{,}28 \text{ км}$$

Округляем до одной значащей цифры (первая цифра – 1, поэтому допустимо оставить две):

$$\Delta s \approx 1{,}3 \text{ км}$$

Ответ: $s = 19 \pm 1{,}3$ км.

Шаг 5. Проверка утверждения

Вопрос: можно ли утверждать, что катер преодолеет 18 км?

Нижняя граница: $19 - 1{,}3 = 17{,}7$ км.

Поскольку $17{,}7 < 18$, с учётом погрешностей катер может не дойти до отметки 18 км. Утверждать нельзя.

Правила, которые нужно знать

  1. Все единицы – согласованные. Перед расчётом приведите скорость, время и их погрешности к одной системе единиц (км/ч и часы, или м/с и секунды).

  2. Погрешность суммы. Если величина вычисляется как $A = B + C$, то $\Delta A = \Delta B + \Delta C$.

  3. Погрешность произведения. Для $s = A \cdot B$ используется формула $\Delta s = \Delta A \cdot B + A \cdot \Delta B$.

  4. Округление. Погрешность округляют до 1–2 значащих цифр, а результат – до того же десятичного разряда, что и погрешность.

  5. Запись результата. Принятый формат: $s = (19{,}0 \pm 1{,}3)$ км или $s = 19 \pm 1{,}3$ км.

Часто задаваемые вопросы

Как правильно округлять абсолютную погрешность?
Абсолютную погрешность принято округлять до одной значащей цифры, если первая цифра больше 3, или до двух, если первая цифра 1 или 2. Результат измерения округляют до того же разряда, что и погрешность.
Почему в задаче про катер погрешность скорости равна погрешности течения?
Скорость катера по течению – это сумма собственной скорости и скорости течения. Если собственная скорость известна точно (погрешность равна нулю), то погрешность суммы определяется только погрешностью течения.
Что означает формулировка «величина известна точно» в задачах ВПР?
Это означает, что абсолютная погрешность данной величины равна нулю. При расчёте общей погрешности эта величина не вносит вклада в ошибку результата.
Нужно ли переводить минуты в часы при расчёте погрешности?
Да, все величины должны быть в согласованных единицах. Если скорость задана в км/ч, то и время, и его погрешность нужно перевести в часы: 1 мин = 1/60 ч.
Как определить, преодолеет ли объект заданное расстояние с учётом погрешности?
Нужно вычесть абсолютную погрешность из рассчитанного расстояния. Если нижняя граница (s − Δs) меньше заданного значения, утверждать с уверенностью нельзя.
Чем отличается абсолютная погрешность от относительной?
Абсолютная погрешность выражается в тех же единицах, что и величина (км, м, с). Относительная – это отношение абсолютной погрешности к значению величины, выражается в процентах или долях единицы.
  1. Сколько будет час на скорости: формула и калькулятор расчёта
  2. Погрешность измерений давления: виды, формулы и расчёт
  3. Цена деления шкалы и погрешность измерения: формулы и примеры
  4. 1 погрешность измерений: виды, формулы, расчёт
  5. Как рассчитать погрешность измерений: формулы и примеры
  6. Как найти путь поезда – формулы и расчёт