Рассчитать треугольник онлайн: как быстро и точно рассчитать стороны и углы

Рассчитать треугольник удобно онлайн, если знать, какие параметры задать: стороны, углы, площадь или высоту. На этой странице вы получите готовые формулы, пошаговый алгоритм расчёта и наглядные примеры. Материал полезен школьникам, студентам, инженерам и всем, кто работает с геометрией и чертежами.

Обновлено:

Содержание статьи
Выберите способ расчета треугольника
Введите длины сторон треугольника Положительное число Положительное число Положительное число

Как рассчитать треугольник: основные варианты

Под фразой «рассчитать треугольник» обычно понимают нахождение всех его элементов: сторон, углов, площади, периметра, высот и медиан по части заданных данных.
Типичные задачи:

Ниже — рабочие формулы и алгоритмы, которыми удобно пользоваться вместе с онлайн‑калькулятором.

Обозначения и базовые формулы

Примем стандартные обозначения:

Три ключевых инструмента:

  1. Формула Герона (когда известны три стороны):
\[ p = \frac{a + b + c}{2},\quad S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \]
  1. Закон косинусов:
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \]

Аналогично для b и c.

  1. Закон синусов:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

И стандартное правило:
A + B + C = 180°.

Расчёт треугольника по трём сторонам (SSS)

Алгоритм

  1. Проверить существование треугольника
    Для любых сторон a, b, c должны выполняться:

    • a < b + c, b < a + c, c < a + b;
    • a > |b − c|, b > |a − c|, c > |a − b|.

  2. Вычислить площадь по формуле Герона

    • p = (a + b + c) / 2
    • S = √(p(p − a)(p − b)(p − c))

  3. Найти углы по закону косинусов

    \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc},\quad A = \arccos(\cos A) \]

    Аналогично для B и C.

  4. Высоты и прочие элементы
    Высота к стороне a:

    \[ h_a = \frac{2S}{a} \]

    Периметр: P = a + b + c.

Пример

Пусть a = 5 см, b = 7 см, c = 8 см.

Расчёт по двум сторонам и углу между ними (SAS)

Шаги

  1. Заданы b, c и угол A между ними.
  2. Найти третью сторону по закону косинусов:
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \]
  1. Площадь:
\[ S = \frac{1}{2}bc\sin A \]
  1. Углы B и C по закону синусов:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \sin B = \frac{b\sin A}{a} \]

Аналогично для C.

Особенность

Эта комбинация однозначно задаёт треугольник, поэтому неоднозначности в решении не будет.

Расчёт по стороне и двум углам (ASA / AAS)

  1. Известны A, B и сторона a (напротив угла A).
  2. Найти третий угол:
\[ C = 180^\circ - A - B \]
  1. Использовать закон синусов:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Например, b = a·sin B / sin A, c = a·sin C / sin A.

  1. Площадь — через две стороны и угол между ними или через формулу:
\[ S = \frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A} \]

Прямоугольный треугольник: упрощённые формулы

Если один угол равен 90°, расчёт сильно упрощается. Пусть:

Тогда:

Пример

a = 3 см, b = 4 см.

Как пользоваться онлайн‑калькулятором треугольника

  1. Выберите тип задачи:

    • три стороны;
    • две стороны и угол;
    • сторона и два угла;
    • прямоугольный треугольник.

  2. Введите исходные данные: длины сторон (в одинаковых единицах) и углы (в градусах или радианах — в зависимости от настроек).

  3. Проверьте адекватность:

    • сумма углов около 180°;
    • стороны удовлетворяют неравенствам треугольника;
    • площадь и высоты имеют положительные значения.

  4. Получите результат: калькулятор выдаст недостающие стороны и углы, периметр, площадь, высоты и, при необходимости, медианы и биссектрисы.

Типичные ошибки и как их избежать

Когда полезно уметь рассчитать треугольник

Используя приведённые формулы и онлайн‑калькулятор, вы сможете быстро и точно рассчитать треугольник любой конфигурации — от простого прямоугольного до произвольного, заданного в сложной форме.

Часто задаваемые вопросы

Как рассчитать треугольник по трём сторонам?

Задайте длины всех трёх сторон a, b и c. Площадь найдите по формуле Герона: сначала полупериметр p = (a + b + c) / 2, затем S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)). Углы вычисляют по закону косинусов.

Как рассчитать треугольник по двум сторонам и углу между ними?

Если известны стороны b и c и угол A между ними, площадь S = 1/2 · b · c · sin A. Третью сторону a найдите по закону косинусов: a² = b² + c² − 2bc·cos A, после чего через закон синусов вычислите остальные углы.

Какая формула для площади прямоугольного треугольника?

Для прямоугольного треугольника с катетами a и b используют упрощённую формулу S = 1/2 · a · b. Гипотенузу находят по теореме Пифагора: c² = a² + b².

Как рассчитать треугольник по стороне и двум прилежащим углам?

Сначала найдите третий угол: A + B + C = 180°. Затем примените закон синусов: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Из известной стороны и соответствующего угла вычислите общий коэффициент и найдите остальные стороны.

Что делать, если треугольник не существует при заданных сторонах?

Проверьте неравенства треугольника: каждая сторона должна быть меньше суммы двух других и больше их разности. Если нарушено хотя бы одно условие, треугольник не существует и расчёт невозможен.

Как рассчитать высоту треугольника по сторонам?

Сначала найдите площадь S (например, по формуле Герона), затем высоту к стороне a вычислите как hₐ = 2S / a. Аналогично считается высота к любой другой стороне.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.