Рассчитать матрицу онлайн

Основные матричные операции

Арифметические операции

Сложение и вычитание матриц возможно только для матриц одинакового размера. Операции выполняются поэлементно:

A + B = [aᵢⱼ + bᵢⱼ]
A - B = [aᵢⱼ - bᵢⱼ]

Умножение матрицы на число выполняется умножением каждого элемента на данное число:

k × A = [k × aᵢⱼ]

Умножение матриц

Для умножения матриц A×B необходимо, чтобы количество столбцов матрицы A равнялось количеству строк матрицы B.

Алгоритм умножения:

1. Размер результирующей матрицы: m×n (где A имеет размер m×k, B — k×n)
2. Каждый элемент cᵢⱼ = Σ(aᵢₖ × bₖⱼ) для k от 1 до размера

Пример:

A = [1 2]    B = [5 6]
    [3 4]        [7 8]

A×B = [1×5+2×7  1×6+2×8] = [19 22]
      [3×5+4×7  3×6+4×8]   [43 50]

Специальные операции

Определитель матрицы

Определитель (det A или |A|) — числовая характеристика квадратной матрицы.

Для матрицы 2×2:

det[a b] = ad - bc
   [c d]

Для матрицы 3×3:

det[a b c]
   [d e f] = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)
   [g h i]

Транспонирование

Транспонированная матрица Aᵀ получается заменой строк на столбцы:

A = [1 2 3]  →  Aᵀ = [1 4]
    [4 5 6]          [2 5]
                     [3 6]

Обратная матрица

Обратная матрица A⁻¹ существует, если det(A) ≠ 0:

A × A⁻¹ = E (единичная матрица)

Формула для матрицы 2×2:

A⁻¹ = 1/det(A) × [ d -b]
                  [-c  a]

Практические примеры

Пример 1: Сложение матриц

A = [2 -1]    B = [3  4]
    [0  3]        [1 -2]

A + B = [2+3  -1+4] = [5  3]
        [0+1   3-2]   [1  1]

Пример 2: Вычисление определителя

A = [4 -2]
    [1  3]

det(A) = 4×3 - (-2)×1 = 12 + 2 = 14

Пример 3: Нахождение обратной матрицы

A = [2 1]
    [1 1]

det(A) = 2×1 - 1×1 = 1

A⁻¹ = 1/1 × [ 1 -1] = [ 1 -1]
            [-1  2]    [-1  2]

Как использовать калькулятор

1. Выберите операцию из доступного списка
2. Введите размеры матриц (количество строк и столбцов)
3. Заполните элементы матриц числовыми значениями
4. Нажмите “Рассчитать” для получения результата
5. Проверьте результат и при необходимости скопируйте его

Поддерживаемые форматы

• Целые числа: 5, -3, 0
• Десятичные дроби: 2.5, -1.75, 0.333
• Обыкновенные дроби: 1/2, -3/4, 2/3

Типичные ошибки

Применение в практических задачах

Матрицы широко используются в:

• Системы линейных уравнений — решение методом Крамера или обратной матрицы
• Компьютерная графика — трансформации объектов (поворот, масштабирование)
• Экономика и статистика — анализ данных, модели “затраты-выпуск”
• Физика и инженерия — описание состояний системы
• Машинное обучение — операции с многомерными данными

Дисклеймер: Калькулятор предназначен для образовательных и практических целей. При использовании результатов в критически важных расчетах рекомендуется дополнительная проверка.

Часто задаваемые вопросы