Рассчитать матрицу бесплатно

Основные операции с матрицами

Сложение и вычитание матриц

Сложение матриц возможно только для матриц одинакового размера. Операция выполняется поэлементно:

A + B = [a₁₁+b₁₁  a₁₂+b₁₂]
        [a₂₁+b₂₁  a₂₂+b₂₂]

Пример:

[2  3] + [1  4] = [3  7]
[1  5]   [2  3]   [3  8]

Умножение матриц

Матрицу A(m×n) можно умножить на матрицу B(n×k), если число столбцов первой равно числу строк второй. Результат — матрица размером m×k.

Формула: (AB)ᵢⱼ = Σ(k=1 to n) aᵢₖ × bₖⱼ

Пример:

[1  2] × [5  6] = [1×5+2×7  1×6+2×8] = [19  22]
[3  4]   [7  8]   [3×5+4×7  3×6+4×8]   [43  50]

Определитель матрицы

Определитель матрицы 2×2

Для матрицы 2×2 определитель рассчитывается по формуле:

det(A) = a₁₁ × a₂₂ - a₁₂ × a₂₁

Пример:

det([3  2]) = 3×5 - 2×4 = 15 - 8 = 7
   ([4  5])

Определитель матрицы 3×3

Для матрицы 3×3 используется правило Саррюса или разложение по первой строке:

det(A) = a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₁₂(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)

Обратная матрица

Обратная матрица A⁻¹ существует только для квадратных матриц с ненулевым определителем.

Формула для матрицы 2×2

A⁻¹ = 1/det(A) × [ a₂₂  -a₁₂]
                   [-a₂₁   a₁₁]

Пример:

A = [2  1]  det(A) = 2×3-1×4 = 2
    [4  3]

A⁻¹ = 1/2 × [ 3  -1] = [ 1.5  -0.5]
             [-4   2]   [-2     1  ]

Транспонирование матрицы

Транспонированная матрица Aᵀ получается заменой строк на столбцы:

A = [1  2  3]    Aᵀ = [1  4]
    [4  5  6]         [2  5]
                       [3  6]

Практические примеры расчетов

Пример 1: Система линейных уравнений

Решение системы AX = B через обратную матрицу: X = A⁻¹B

2x + 3y = 7
4x + 5y = 13

A = [2  3]  B = [7 ]
    [4  5]      [13]

X = A⁻¹B = [1.5  -0.5] × [7 ] = [1]
           [-2     1  ]   [13]   [2]

Пример 2: Поворот точки на плоскости

Матрица поворота на угол θ:

R = [cos(θ)  -sin(θ)]
    [sin(θ)   cos(θ)]

Полезные свойства матриц

Типичные ошибки при работе с матрицами

• Попытка сложить матрицы разных размеров
• Неправильный порядок умножения — операция некоммутативна
• Поиск обратной матрицы с нулевым определителем
• Ошибки в вычислении определителя матрицы 3×3

Области применения

Матричные вычисления используются в:

• Решении систем линейных уравнений
• Компьютерной графике (повороты, масштабирование)
• Машинном обучении (нейронные сети)
• Экономическом моделировании
• Квантовой механике

Дисклеймер: Онлайн калькуляторы предназначены для образовательных целей и проверки вычислений. Для критически важных расчетов рекомендуется дополнительная верификация результатов.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.