Обновлено:

Рассчитать матрицу

Матрица — это прямоугольная таблица чисел, расположенных в строках и столбцах. Рассчитать матрицу означает выполнить различные математические операции: найти определитель, обратную матрицу, произвести сложение или умножение матриц.

Содержание статьи
Калькулятор матриц Выберите нужную матричную операцию

Основные операции с матрицами

Сложение и вычитание матриц

Матрицы одинакового размера складываются поэлементно:

A + B = [a₁₁ + b₁₁  a₁₂ + b₁₂]
        [a₂₁ + b₂₁  a₂₂ + b₂₂]

Пример:

[2  3] + [1  4] = [3  7]
[1  5]   [2  3]   [3  8]

Умножение матриц

Матрицы можно перемножать, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй.

Формула: C[i,j] = Σ A[i,k] × B[k,j]

Пример умножения матриц 2×2:

[2  1] × [3  2] = [2×3+1×1  2×2+1×4] = [7   8]
[4  3]   [1  4]   [4×3+3×1  4×2+3×4]   [15  20]

Определитель матрицы

Для матрицы 2×2

det(A) = a₁₁ × a₂₂ - a₁₂ × a₂₁

Пример:

det([2  3]) = 2×5 - 3×4 = 10 - 12 = -2
   ([4  5])

Для матрицы 3×3

Используется правило Саррюса или разложение по строке:

РазмерМетод расчета
2×2ad - bc
3×3Правило Саррюса или разложение
n×nРазложение по строке/столбцу

Обратная матрица

Обратная матрица A⁻¹ существует только для квадратных матриц с det(A) ≠ 0.

Для матрицы 2×2:

A⁻¹ = 1/det(A) × [ a₂₂  -a₁₂]
                   [-a₂₁   a₁₁]

Пример:

A = [2  1]
    [3  2]

det(A) = 2×2 - 1×3 = 1

A⁻¹ = 1/1 × [ 2  -1] = [ 2  -1]
            [-3   2]   [-3   2]

Практические примеры расчетов

Пример 1: Система уравнений

Решение системы AX = B через обратную матрицу: X = A⁻¹B

2x + y = 5
3x + 2y = 8

A = [2  1], B = [5], X = [x]
    [3  2]      [8]      [y]

X = A⁻¹B = [ 2  -1] × [5] = [2]
           [-3   2]   [8]   [1]

Ответ: x = 2, y = 1

Пример 2: Преобразование координат

При повороте точки на угол θ используется матрица поворота:

[cos θ  -sin θ]
[sin θ   cos θ]

Свойства матричных операций

Типичные ошибки при расчете

  1. Неверный порядок умножения — матрицы умножают слева направо
  2. Игнорирование размерности — проверяйте совместимость размеров
  3. Ошибки в знаках при вычислении определителя
  4. Деление на ноль — обратная матрица не существует при det(A) = 0

Совет: Всегда проверяйте размерности матриц перед выполнением операций и используйте онлайн-калькулятор для проверки сложных вычислений.

Дисклеймер: Результаты расчетов носят информационный характер. При решении важных задач рекомендуется дополнительная проверка вычислений.

Часто задаваемые вопросы

Как рассчитать определитель матрицы?

Для матрицы 2×2 определитель равен ad-bc. Для больших матриц используют разложение по строке или столбцу.

Можно ли умножать матрицы разного размера?

Матрицы можно умножать, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй.

Что такое обратная матрица?

Обратная матрица A⁻¹ такая, что A × A⁻¹ = E (единичная матрица). Существует только для квадратных матриц с ненулевым определителем.

Как проверить правильность вычислений матрицы?

Используйте свойства операций: A + B = B + A, (AB)C = A(BC), A × A⁻¹ = E для проверки результатов.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.