Рассчитать энергию связи

При решении задач по ядерной физике часто приходится рассчитать энергию связи – работу, необходимую для расщепления ядра на отдельные протоны и нейтроны. Эта величина определяет стабильность изотопа и объясняет, почему при делении тяжёлых ядер или синтезе лёгких высвобождается огромное количество энергии.

Как рассчитать энергию связи по формуле?

Энергия связи находится через дефект масс – разницу между суммой масс свободных нуклонов и массой собранного ядра.

Формула дефекта масс:

Δm = (Z · mp + N · m_n) – Mядра

где:

• Z – число протонов;
• N – число нейтронов;
• m_p ≈ 1,007276 а.е.м. – масса протона;
• m_n ≈ 1,008665 а.е.м. – масса нейтрона;
• M_ядра – масса ядра в атомных единицах массы (а.е.м.).

Энергия связи рассчитывается по уравнению Эйнштейна:

E_св = Δm · c²

В ядерной физике удобнее использовать прямой перевод а.е.м. в мегаэлектронвольты:

E_св (МэВ) = Δm (а.е.м.) · 931,5

Пример расчёта: ядро гелия‑4

У гелия-4 два протона и два нейтрона. Сумма масс нуклонов:

2 · 1,007276 + 2 · 1,008665 = 4,031882 а.е.м.

Масса ядра гелия-4 составляет 4,001506 а.е.м. (атомная масса 4,002603 а.е.м. за вычетом массы двух электронов).

Дефект масс:

Δm = 4,031882 – 4,001506 = 0,030376 а.е.м.

Энергия связи:

E_св = 0,030376 · 931,5 ≈ 28,3 МэВ

Это значит, что для разрушения ядра гелия-4 на составляющие нуклоны нужно затратить около 28,3 МэВ.

Почему масса ядра меньше суммы масс свободных нуклонов?

При объединении протонов и нейтронов в ядро выделяется энергия. Согласно соотношению E = mc², эта энергия имеет массовый эквивалент. Поэтому реальная масса ядра всегда меньше суммы масс отдельных частиц. «Потерянная» масса и называется дефектом масс, а эквивалентная ей энергия удерживает нуклоны внутри ядра, компенсируя кулоновское отталкивание между положительно заряженными протонами.

Удельная энергия связи: зачем делить на число нуклонов?

Полная энергия связи показывает, сколько энергии нужно для разрушения конкретного ядра, но не позволяет напрямую сравнивать стабильность разных элементов. Для этого вводят удельную энергию связи – энергию, приходящуюся на один нуклон.

Формула:

Eуд = Eсв / A

где A = Z + N – массовое число.

Для гелия-4:

E_уд = 28,3 / 4 ≈ 7,07 МэВ/нуклон

Чем выше эта величина, тем прочнее ядро. Удельная энергия связи медленно растёт с массовым числом, достигает максимума у железа (около 8,8 МэВ/нуклон), а затем плавно снижается у самых тяжёлых элементов.

Калькулятор энергии связи

Калькулятор выше работает с массами в атомных единицах. Достаточно задать число протонов Z, нейтронов N и массу ядра в а.е.м. – инструмент сам определит дефект масс, полную энергию связи в МэВ и удельное значение на один нуклон. Если известна только атомная масса, перед использованием вычтите массу электронов: Z · 0,000549 а.е.м.

Таблица масс частиц для ручного расчёта

Коэффициент для перевода: 1 а.е.м. = 931,5 МэВ/c².

Сколько энергии удерживает ядро дейтерия?

Дейтерий состоит из одного протона и одного нейтрона. Его атомная масса – 2,014102 а.е.м.

Масса ядра:

2,014102 – 0,000549 = 2,013553 а.е.м.

Сумма масс нуклонов:

1,007276 + 1,008665 = 2,015941 а.е.м.

Дефект масс:

Δm = 2,015941 – 2,013553 = 0,002388 а.е.м.

Энергия связи:

E_св = 0,002388 · 931,5 ≈ 2,224 МэВ

Удельная энергия:

E_уд = 2,224 / 2 ≈ 1,112 МэВ/нуклон

Сравнение с гелием-4 (7,07 МэВ/нуклон) показывает, что ядро дейтерия гораздо слабее удерживает нуклоны, и его легче расщепить.

Точность расчётов зависит от используемых табличных значений масс; для лабораторных и экзаменационных работ уточняйте данные в конкретном учебнике или справочнике.