Рассчитать энергию связи
При решении задач по ядерной физике часто приходится рассчитать энергию связи – работу, необходимую для расщепления ядра на отдельные протоны и нейтроны. Эта величина определяет стабильность изотопа и объясняет, почему при делении тяжёлых ядер или синтезе лёгких высвобождается огромное количество энергии.
Как рассчитать энергию связи по формуле?
Энергия связи находится через дефект масс – разницу между суммой масс свободных нуклонов и массой собранного ядра.
Формула дефекта масс:
Δm = (Z · mp + N · m_n) – Mядра
где:
- Z – число протонов;
- N – число нейтронов;
- m_p ≈ 1,007276 а.е.м. – масса протона;
- m_n ≈ 1,008665 а.е.м. – масса нейтрона;
- M_ядра – масса ядра в атомных единицах массы (а.е.м.).
Энергия связи рассчитывается по уравнению Эйнштейна:
E_св = Δm · c²
В ядерной физике удобнее использовать прямой перевод а.е.м. в мегаэлектронвольты:
E_св (МэВ) = Δm (а.е.м.) · 931,5
Пример расчёта: ядро гелия‑4
У гелия-4 два протона и два нейтрона. Сумма масс нуклонов:
2 · 1,007276 + 2 · 1,008665 = 4,031882 а.е.м.
Масса ядра гелия-4 составляет 4,001506 а.е.м. (атомная масса 4,002603 а.е.м. за вычетом массы двух электронов).
Дефект масс:
Δm = 4,031882 – 4,001506 = 0,030376 а.е.м.
Энергия связи:
E_св = 0,030376 · 931,5 ≈ 28,3 МэВ
Это значит, что для разрушения ядра гелия-4 на составляющие нуклоны нужно затратить около 28,3 МэВ.
Почему масса ядра меньше суммы масс свободных нуклонов?
При объединении протонов и нейтронов в ядро выделяется энергия. Согласно соотношению E = mc², эта энергия имеет массовый эквивалент. Поэтому реальная масса ядра всегда меньше суммы масс отдельных частиц. «Потерянная» масса и называется дефектом масс, а эквивалентная ей энергия удерживает нуклоны внутри ядра, компенсируя кулоновское отталкивание между положительно заряженными протонами.
Удельная энергия связи: зачем делить на число нуклонов?
Полная энергия связи показывает, сколько энергии нужно для разрушения конкретного ядра, но не позволяет напрямую сравнивать стабильность разных элементов. Для этого вводят удельную энергию связи – энергию, приходящуюся на один нуклон.
Формула:
Eуд = Eсв / A
где A = Z + N – массовое число.
Для гелия-4:
E_уд = 28,3 / 4 ≈ 7,07 МэВ/нуклон
Чем выше эта величина, тем прочнее ядро. Удельная энергия связи медленно растёт с массовым числом, достигает максимума у железа (около 8,8 МэВ/нуклон), а затем плавно снижается у самых тяжёлых элементов.
Калькулятор энергии связи
Калькулятор выше работает с массами в атомных единицах. Достаточно задать число протонов Z, нейтронов N и массу ядра в а.е.м. – инструмент сам определит дефект масс, полную энергию связи в МэВ и удельное значение на один нуклон. Если известна только атомная масса, перед использованием вычтите массу электронов: Z · 0,000549 а.е.м.
Таблица масс частиц для ручного расчёта
| Частица | Масса, а.е.м. | Масса, кг |
|---|---|---|
| Протон | 1,007276 | 1,6726 × 10⁻²⁷ |
| Нейтрон | 1,008665 | 1,6749 × 10⁻²⁷ |
| Электрон | 0,000549 | 9,109 × 10⁻³¹ |
| 1 а.е.м. | 1,000000 | 1,6605 × 10⁻²⁷ |
Коэффициент для перевода: 1 а.е.м. = 931,5 МэВ/c².
Сколько энергии удерживает ядро дейтерия?
Дейтерий состоит из одного протона и одного нейтрона. Его атомная масса – 2,014102 а.е.м.
Масса ядра:
2,014102 – 0,000549 = 2,013553 а.е.м.
Сумма масс нуклонов:
1,007276 + 1,008665 = 2,015941 а.е.м.
Дефект масс:
Δm = 2,015941 – 2,013553 = 0,002388 а.е.м.
Энергия связи:
E_св = 0,002388 · 931,5 ≈ 2,224 МэВ
Удельная энергия:
E_уд = 2,224 / 2 ≈ 1,112 МэВ/нуклон
Сравнение с гелием-4 (7,07 МэВ/нуклон) показывает, что ядро дейтерия гораздо слабее удерживает нуклоны, и его легче расщепить.
Точность расчётов зависит от используемых табличных значений масс; для лабораторных и экзаменационных работ уточняйте данные в конкретном учебнике или справочнике.