Обновлено: 2 марта 2026 г.

Расчёт вероятности: формулы, правила и примеры

Бросок монеты, медицинский тест, лотерея, прогноз погоды – за любым из этих явлений стоит один и тот же математический аппарат. Расчёт вероятности позволяет перевести интуитивное «наверное случится» в точное число от 0 до 1.

Классическая формула вероятности

Базовая формула работает для задач, где все исходы равновероятны – например, бросок монеты, кубика или выбор карты из колоды:

P(A) = m / n

• P(A) – вероятность события A
• m – число исходов, благоприятных для A
• n – общее число всех возможных исходов

Пример. Из колоды 36 карт наугад вытаскивают одну. Какова вероятность вытащить туза?

Тузов в колоде 4, всего карт 36. Значит: P = 4 / 36 = 1/9 ≈ 0,111 (11,1%).

Вероятность всегда лежит между 0 и 1. Ноль означает невозможное событие, единица – достоверное.

Расчёты носят вычислительный характер и не заменяют профессионального статистического анализа для научных и прикладных исследований.

Калькулятор выше решает задачи по классической схеме: задайте число благоприятных исходов и общее число исходов – получите вероятность в виде десятичной дроби, обыкновенной дроби и процента. Также доступны режимы для правил сложения и умножения: достаточно ввести вероятности двух событий и указать, зависимы они или нет.

Три подхода к определению вероятности

Не всегда задачу можно свести к формуле m/n. Различают три базовых подхода.

Классический – исходы равновозможны, и их можно перечислить. Подходит для игральных кубиков, карт, лотерей.

Статистический (частотный) – вероятность оценивается через реальный эксперимент. Если монету бросили 1 000 раз и орёл выпал 487 раз, то статистическая вероятность орла равна 487/1000 = 0,487. Чем больше испытаний, тем точнее оценка.

Геометрический – используется, когда исходы задаются точкой на отрезке, фигуре или в пространстве. Вероятность пропорциональна длине, площади или объёму: P = (мера благоприятной области) / (мера всей области).

Правило сложения: вероятность «А или В»

Когда нужно найти вероятность наступления хотя бы одного из двух событий, применяют правило сложения.

Для несовместных событий (не могут произойти одновременно):

P(A или B) = P(A) + P(B)

Пример. Вероятность выбросить 1 на кубике – 1/6, выбросить 6 – тоже 1/6. События несовместны (одновременно выпасть не могут). P(1 или 6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 ≈ 33,3%.

Для совместных событий (могут произойти одновременно) нужно вычесть пересечение, чтобы не учесть его дважды:

P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B)

Пример. В группе из 30 студентов 18 занимаются спортом, 12 изучают второй язык, 6 делают и то и другое. Вероятность того, что случайный студент занимается хотя бы одним из этих дел:

P = 18/30 + 12/30 − 6/30 = 24/30 = 0,8 (80%).

Правило умножения: вероятность «А и В»

Чтобы найти вероятность одновременного наступления двух событий, используют правило умножения.

Для независимых событий (исход одного не влияет на другое):

P(A и B) = P(A) × P(B)

Пример. Два стрелка стреляют по мишени независимо. Вероятность попадания первого – 0,8, второго – 0,7. Вероятность того, что оба попадут: P = 0,8 × 0,7 = 0,56 (56%).

Для зависимых событий (исход первого влияет на второй) применяют условную вероятность:

P(A и B) = P(A) × P(B|A)

где P(B|A) – вероятность B при условии, что A уже произошло.

Пример. В урне 5 красных и 3 белых шара. Вытаскивают два шара подряд без возврата. Вероятность, что оба красных:

• P(A) = 5/8 – первый шар красный
• P(B|A) = 4/7 – второй красный, если первый уже вынут
• P(A и B) = 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14 ≈ 35,7%

Условная вероятность

Условная вероятность P(B|A) показывает, как меняется вероятность события B, если известно, что A уже наступило:

P(B|A) = P(A и B) / P(A)

Это особенно важно в медицинской диагностике. Тест на болезнь может иметь точность 99%, но если сама болезнь редкая – частота ложноположительных результатов среди «положительных» тестов окажется удивительно высокой. Именно условная вероятность объясняет этот парадокс.

Вероятность дополнения: приём «от противного»

Дополнение – событие «A не произошло». Его вероятность:

P(Ā) = 1 − P(A)

Приём удобен, когда посчитать «хотя бы одно» напрямую сложно, а «ни одного» – легко.

Пример. Монету бросают 5 раз. Какова вероятность, что орёл выпадет хотя бы раз?

• P(орёл ни разу) = (1/2)⁵ = 1/32
• P(хотя бы раз) = 1 − 1/32 = 31/32 ≈ 96,9%

Как правильно составить пространство исходов

Главная ошибка в задачах на вероятность – неверное определение n (общего числа исходов). Несколько правил:

• Убедитесь, что все исходы равновозможны. Нельзя сказать «завтра пойдёт дождь или нет, значит 50/50» – эти исходы не симметричны.
• Для выбора нескольких объектов из множества считайте сочетания (C(n, k)), а не перестановки, если порядок не важен.
• Если эксперименты повторяются, используйте правило умножения для подсчёта полного числа исходов: k испытаний с n исходами каждое дают nᵏ вариантов.

Формула сочетаний, когда выбирают k элементов из n без учёта порядка:

C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)

Пример. Из 10 человек выбирают команду из 3. Сколько вариантов? C(10, 3) = 10! / (3! × 7!) = 120.

Типичные задачи и разбор решений

Расчёт вероятности строится на нескольких ключевых формулах: классическое P = m/n, правила сложения и умножения, условная вероятность и дополнение. Почти любую задачу можно решить, правильно определив пространство исходов и выбрав нужное правило. Если задача включает комбинаторику, воспользуйтесь формулой сочетаний – она сэкономит время при подсчёте n и m.