Расчёт треугольника онлайн: калькулятор

Нужно найти площадь земельного участка треугольной формы, рассчитать раскрой детали или просто решить задачу из учебника – в любом случае требуется знать хотя бы три параметра из шести (три стороны и три угла). Калькулятор ниже восстанавливает все остальные.

Что вычисляет калькулятор треугольника

Калькулятор принимает любой достаточный набор исходных данных и выдаёт полный портрет треугольника:

• Стороны a, b, c
• Углы A, B, C (в градусах)
• Площадь S и периметр P
• Высоты h_a, h_b, h_c
• Медианы m_a, m_b, m_c
• Биссектрисы l_a, l_b, l_c
• Радиус описанной окружности R и вписанной r

Результат обновляется немедленно. Углы можно вводить в градусах и минутах или в десятичных долях градуса. Стороны – в любых единицах длины: калькулятор работает с числами, перевод единиц остаётся на ваше усмотрение.

Какие исходные данные достаточны для расчёта?

Треугольник однозначно определяется шестью параметрами, но для вычисления нужна лишь часть из них. Математики обозначают эти наборы трёхбуквенными кодами – по первым буквам слов «side» (сторона) и «angle» (угол).

Набор из трёх углов (AAA) не работает: он задаёт форму, но не масштаб.

Что такое «неоднозначный случай» SSA?

Когда заданы две стороны и угол, противолежащий меньшей из них, возможны два разных треугольника. Например, при a = 7, b = 10, A = 30° существуют два варианта угла B – острый и тупой. Калькулятор покажет оба решения, если они существуют. Выберите геометрически подходящий для вашей задачи.

Формулы, по которым работает расчёт

Стороны и углы: теоремы косинусов и синусов

Теорема косинусов – обобщение теоремы Пифагора для произвольного треугольника:

c² = a² + b² − 2ab·cos(C)

Из неё находят третью сторону по двум сторонам и углу между ними (SAS), а также все углы по трём сторонам (SSS).

Теорема синусов связывает стороны с противолежащими углами:

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2R

Используется для случаев ASA, AAS и SSA.

Площадь треугольника

Четыре рабочих формулы – каждая уместна в своём наборе исходных данных:

По основанию и высоте:

S = (1/2) · a · h_a

По двум сторонам и углу между ними:

S = (1/2) · a · b · sin(C)

Формула Герона – только по трём сторонам, без углов:

p = (a + b + c) / 2
S = √(p · (p − a) · (p − b) · (p − c))

Через радиус вписанной окружности:

S = p · r

Высоты, медианы, биссектрисы

Высота к стороне a:

h_a = 2S / a

Медиана к стороне a:

m_a = (1/2) · √(2b² + 2c² − a²)

Биссектриса из угла A:

l_a = (2bc · cos(A/2)) / (b + c)

Радиусы окружностей:

R = abc / (4S)       – описанная
r = S / p            – вписанная

Прямоугольный треугольник: отдельный случай

Если один из углов равен 90°, набор формул упрощается. Теорема Пифагора:

c² = a² + b²

где c – гипотенуза, a и b – катеты.

Тригонометрические отношения (угол A – острый):

sin(A) = a / c,  cos(A) = b / c,  tg(A) = a / b

Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы. Радиус описанной окружности тоже равен c/2 – центр совпадает с серединой гипотенузы.

Как проверить правильность расчёта

Быстрые контрольные соотношения, которые должны выполняться в любом треугольнике:

1. Сумма углов: A + B + C = 180°
2. Неравенство треугольника: a + b > c (и аналогично для других пар)
3. Связь площади и высоты: S = (1/2) · a · h_a – проверьте для всех трёх сторон, результат должен совпадать
4. Теорема синусов: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) – три дроби должны быть равны

Если хотя бы одно условие нарушено, в исходных данных ошибка.

Практические примеры

Задача 1. Земельный участок (SSS) Стороны: a = 42 м, b = 37 м, c = 29 м. Полупериметр: p = (42 + 37 + 29)/2 = 54 м. Площадь по Герону: S = √(54 · 12 · 17 · 25) = √(275 400) ≈ 524,8 м².

Задача 2. Раскрой треугольной детали (SAS) Стороны a = 15 см, b = 20 см, угол C = 48°. Площадь: S = 0,5 · 15 · 20 · sin(48°) ≈ 0,5 · 15 · 20 · 0,743 ≈ 111,5 см². Третья сторона: c = √(225 + 400 − 600 · cos(48°)) ≈ √(625 − 401,5) ≈ √223,5 ≈ 14,95 см.

Задача 3. Высота горного склона (AAS) Известны угол у подножия A = 62°, угол при вершине B = 85°, основание c = 200 м. Третий угол: C = 180° − 62° − 85° = 33°. По теореме синусов: a = c · sin(A)/sin(C) = 200 · sin(62°)/sin(33°) ≈ 200 · 0,883/0,545 ≈ 324 м.

Для решения нестандартных задач – вводите данные в калькулятор выше. Если треугольник не строится (неверные данные, нарушено неравенство треугольника), расчёт сообщит об ошибке.