Расчет треугольника онлайн – стороны, углы и площадь

Как пользоваться калькулятором

Этот инструмент позволяет решить треугольник (найти все его неизвестные элементы) по минимальному набору данных. Расчет выполняется автоматически на основе тригонометрических теорем.

1. Входные данные

Для начала выберите Вариант расчета в выпадающем списке, исходя из того, что вам известно. Затем заполните соответствующие поля:

• Сторона A, B, C – длина сторон треугольника.
  • Диапазон: положительные числа больше 0.
  • Пример: 3, 4, 5 или 10.5 см.
• Угол α (альфа), β (бета), γ (гамма) – величина углов в градусах.
  • Диапазон: от 0° до 180° (сумма углов не может превышать 180°).
  • Важно: Угол α лежит против стороны A, β – против B, γ – против C.
• Единицы измерения – выберите метрическую или другую систему (см, м, мм), это влияет на подпись в результате, но не на пропорции.

Типичные варианты ввода (режимы):

1. 3 стороны (SSS): введите длины A, B и C.
2. 2 стороны и угол между ними (SAS): введите A, B и угол γ (между ними).
3. 2 угла и сторона (ASA/AAS): введите сторону A и любые два угла.
4. 2 стороны и угол, не лежащий между ними (SSA): введите A, B и угол α (напротив A).

2. Что показывает результат

После ввода данных калькулятор мгновенно выводит полный разбор фигуры:

• Неизвестные стороны и углы – восполняет недостающие параметры до полного набора.
• Площадь (S) – размер пространства внутри контура фигуры.
• Периметр (P) – общая длина всех границ.
• Высоты ($h_a, h_b, h_c$) – перпендикуляры, опущенные на соответствующие стороны.
• Тип треугольника – классификация по сторонам (разносторонний, равнобедренный, равносторонний) и по углам (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный).

3. Что делать с результатом

Используйте полученные данные для проверки домашних заданий по геометрии, разметки участка при строительстве, расчета материалов для кровельных работ или раскроя ткани.

Формулы и принцип расчёта

В основе вычислений лежат фундаментальные теоремы геометрии. Калькулятор автоматически выбирает нужную формулу в зависимости от введенных данных.

Теорема косинусов

Используется, когда известны две стороны и угол между ними, или три стороны. Позволяет найти неизвестную сторону или уголы.

Формула: $a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\alpha)$

Где:

• $a, b, c$ – стороны треугольника
• $\alpha$ – угол, противолежащий стороне $a$

Теорема синусов

Применяется, когда известны сторона и два угла, или две стороны и угол не между ними.

Формула: $\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$

Формула Герона (для площади)

Позволяет вычислить площадь, если известны длины всех трех сторон, без использования высоты.

Формула: $S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}$

Где:

• $p$ – полупериметр ($\frac{a + b + c}{2}$)
• $S$ – площадь

Примеры расчётов

Рассмотрим, как работает расчет треугольника онлайн в различных жизненных и учебных ситуациях.

Пример 1. Классический «Египетский» треугольник

Вы знаете длины трех сторон и хотите убедиться, что угол прямой, а также найти площадь.

Пример 2. Строительство двускатной крыши

Известна ширина дома (основание треугольника) и угол наклона ската крыши. Нужно найти длину стропил (боковые стороны).

• Дано: Основание (C) = 8 м, Углы при основании ($\alpha, \beta$) = 30°.
• Решение: Треугольник равнобедренный. Угол вершины $\gamma = 180 - 30 - 30 = 120^\circ$.
• Расчет по теореме синусов: Стороны A и B (стропила) ≈ 4.62 м.
• Высота чердака: $\approx 2.31$ м.

Полезная информация

При работе с геометрическими фигурами важно учитывать не только формулы, но и логические ограничения, чтобы избежать ошибок в расчетах.

Существование треугольника

Не любые три отрезка могут образовать треугольник. Главное правило – неравенство треугольника: длина любой стороны всегда должна быть меньше суммы длин двух других сторон ($a < b + c$). Если вы введете стороны 1, 2 и 10, калькулятор выдаст ошибку, так как такую фигуру невозможно замкнуть.

Сумма углов

Сумма всех углов в любом треугольнике на плоскости всегда равна строго 180 градусам.

• Если сумма двух известных углов уже равна или больше 180°, третий угол существовать не может.
• В прямоугольном треугольнике один угол 90°, значит сумма двух острых углов тоже равна 90°.

Частые ошибки при вводе

1. Несоответствие углов и сторон. Помните стандартное обозначение: угол $\alpha$ всегда лежит напротив стороны A. Если перепутать местами значения, результат будет верным математически, но не будет соответствовать вашему чертежу.
2. Неоднозначный случай (SSA). При вводе двух сторон и угла не между ними иногда возможно построить два разных треугольника (один остроугольный, другой тупоугольный). Калькулятор обычно показывает основное решение, но стоит помнить об этой геометрической особенности.

Итог

Калькулятор расчета треугольника экономит время, избавляя от сложных вычислений корней и тригонометрических функций вручную. Введите известные размеры в форму выше, чтобы мгновенно получить параметры сторон, углов и площади для вашего проекта.

Часто задаваемые вопросы