Расчет прямоугольного треугольника онлайн

Что такое прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник — это треугольник, один из углов которого равен 90°. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (обычно обозначаются a и b), а сторона, противолежащая прямому углу — гипотенузой (c). Гипотенуза всегда длиннее любого из катетов.

Прямоугольные треугольники широко применяются в строительстве, навигации, проектировании, физике и компьютерной графике. Расчет их параметров основан на теореме Пифагора и тригонометрических соотношениях.

Как пользоваться онлайн-калькулятором

1. Выберите известные параметры — минимум два значения: стороны, углы или комбинацию.
2. Введите числа в соответствующие поля (катеты a, b; гипотенуза c; острые углы α, β).
3. Нажмите кнопку расчета — калькулятор мгновенно вычислит все неизвестные величины.
4. Изучите результаты — стороны, углы, площадь, периметр, высота на гипотенузу, с формулами и пошаговым решением.

Калькулятор автоматически проверяет корректность данных: сумма острых углов не превышает 90°, гипотенуза больше катетов.

Основные формулы для расчета

Теорема Пифагора

Связывает длины сторон прямоугольного треугольника:

c² = a² + b²

Отсюда:

• Гипотенуза: c = √(a² + b²)
• Катет a: a = √(c² − b²)
• Катет b: b = √(c² − a²)

Тригонометрические соотношения

Для острых углов α (противолежащий катету a) и β (противолежащий катету b):

• sin(α) = a / c, cos(α) = b / c, tan(α) = a / b
• sin(β) = b / c, cos(β) = a / c, tan(β) = b / a
• α + β = 90°

Если известен угол α и гипотенуза c:

• a = c × sin(α)
• b = c × cos(α)

Если известен угол α и катет a:

• b = a / tan(α) или b = a × cot(α)
• c = a / sin(α)

Площадь и периметр

• Площадь: S = (a × b) / 2
• Периметр: P = a + b + c
• Высота на гипотенузу: h = (a × b) / c

Примеры расчета прямоугольного треугольника

Пример 1: Известны два катета

Дано: a = 3 см, b = 4 см

Решение:

1. Гипотенуза по теореме Пифагора: c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 см
2. Угол α: sin(α) = 3/5 = 0,6 → α ≈ 36,87°
3. Угол β: β = 90° − 36,87° ≈ 53,13°
4. Площадь: S = (3 × 4) / 2 = 6 см²
5. Периметр: P = 3 + 4 + 5 = 12 см
6. Высота на гипотенузу: h = (3 × 4) / 5 = 2,4 см

Пример 2: Известны гипотенуза и угол

Дано: c = 10 м, α = 30°

Решение:

1. Катет a: a = 10 × sin(30°) = 10 × 0,5 = 5 м
2. Катет b: b = 10 × cos(30°) = 10 × 0,866 ≈ 8,66 м
3. Угол β: β = 90° − 30° = 60°
4. Площадь: S = (5 × 8,66) / 2 ≈ 21,65 м²
5. Периметр: P = 5 + 8,66 + 10 = 23,66 м

Пример 3: Известны катет и угол

Дано: a = 7 мм, α = 45°

Решение:

1. Катет b: b = 7 / tan(45°) = 7 / 1 = 7 мм (равнобедренный прямоугольный треугольник)
2. Гипотенуза: c = 7 / sin(45°) = 7 / 0,707 ≈ 9,90 мм
3. Угол β: β = 90° − 45° = 45°
4. Площадь: S = (7 × 7) / 2 = 24,5 мм²

Свойства и особые случаи

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Когда оба катета равны (a = b), острые углы равны 45°, а гипотенуза c = a√2. Пример: катеты по 1 см → гипотенуза ≈ 1,414 см.

Египетский треугольник

Стороны в соотношении 3:4:5 (или кратные: 6:8:10, 9:12:15). Часто используется в строительстве для построения прямых углов без инструментов.

Углы 30°-60°-90°

Стороны в соотношении 1 : √3 : 2. Если меньший катет a = 1, то больший катет b = √3 ≈ 1,732, гипотенуза c = 2.

Применение расчетов

• Строительство и архитектура: определение диагоналей, уклонов крыш, высот стропил.
• Геодезия и навигация: расчет расстояний по координатам, углам возвышения.
• Физика: разложение векторов, проекции сил, движение под углом.
• Дизайн и графика: построение перспективы, 3D-моделирование.
• Школьные и вузовские задачи: геометрия, тригонометрия, прикладная математика.

Советы и частые ошибки

• Проверяйте единицы измерения: все стороны должны быть в одинаковых единицах (см, м, мм).
• Гипотенуза всегда больше катета: если получилось иначе — ошибка в данных или расчете.
• Углы в градусах или радианах: убедитесь, что калькулятор/формулы используют нужную меру угла.
• Теорема Пифагора только для прямоугольных треугольников: в остальных случаях используйте теорему косинусов.
• Высота на гипотенузу делит её на отрезки: cp = (a² / c), cq = (b² / c), где cp + cq = c.

Дополнительные параметры

Радиус вписанной окружности

r = (a + b − c) / 2

Для треугольника 3-4-5: r = (3 + 4 − 5) / 2 = 1 см

Радиус описанной окружности

R = c / 2

Центр описанной окружности — середина гипотенузы. Для c = 10 м: R = 5 м

Медианы

Медиана к гипотенузе: mc = c / 2 = R

Медианы к катетам:

• ma = √(2b² + 2c² − a²) / 2
• mb = √(2a² + 2c² − b²) / 2

Проверка результата

После расчета проверьте:

1. Теорема Пифагора: a² + b² = c² (с точностью до погрешности округления).
2. Сумма углов: 90° + α + β = 180° (α + β = 90°).
3. Площадь разными способами: S = (a × b) / 2 = (c × h) / 2.
4. Неравенство треугольника: любая сторона меньше суммы двух других.

Заключение

Онлайн-калькулятор расчета прямоугольного треугольника — удобный инструмент для быстрого и точного нахождения всех параметров по минимальным данным. Зная две величины, вы получаете полное решение с формулами, пошаговыми вычислениями и проверкой. Используйте калькулятор для учебы, работы, проектирования — экономьте время и избегайте ошибок в расчетах.

Дисклеймер: Результаты предоставлены в ознакомительных целях. Для ответственных инженерных и строительных расчетов используйте профессиональное ПО и консультации специалистов.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.