Расчет приведенной массы

Что такое приведенная масса

Приведенная масса (обозначается μ или m_red) — это эффективная масса в системе двух взаимодействующих тел, которая позволяет описать их относительное движение как движение одной частицы с массой μ в центральном поле. Концепция применяется в классической механике, квантовой физике и астрономии для упрощения двухчастичных задач.

Физический смысл: приведенная масса характеризует инертность системы при относительном движении тел. Чем меньше приведенная масса, тем легче изменить относительное положение тел при заданной силе.

Формула расчета приведенной массы

Основная формула

Для двух тел с массами m₁ и m₂ приведенная масса рассчитывается:

μ = (m₁ · m₂) / (m₁ + m₂)

Альтернативная запись

Через обратные величины:

1/μ = 1/m₁ + 1/m₂

Эта форма удобна при работе с электрическими аналогиями (как параллельное соединение сопротивлений).

Частные случаи

• Равные массы: если m₁ = m₂ = m, то μ = m/2
• Одна масса много больше: если m₁ » m₂, то μ ≈ m₂
• Предельный случай: если m₁ → ∞, то μ → m₂ (задача о движении легкого тела в поле неподвижного тяжелого)

Как пользоваться калькулятором

1. Введите массу первого тела (m₁) в килограммах или других единицах
2. Введите массу второго тела (m₂) в тех же единицах
3. Калькулятор автоматически рассчитает приведенную массу μ
4. Результат отобразится в выбранной системе единиц

Важно: массы должны быть положительными числами в одинаковых единицах измерения.

Примеры расчета

Пример 1: Система одинаковых тел

Условие: два шара массой по 4 кг соединены пружиной.

Решение:

• m₁ = 4 кг, m₂ = 4 кг
• μ = (4 · 4) / (4 + 4) = 16 / 8 = 2 кг

Ответ: приведенная масса равна 2 кг (половина массы каждого тела).

Пример 2: Система с разными массами

Условие: автомобиль 1500 кг сталкивается с грузовиком 6000 кг.

Решение:

• m₁ = 1500 кг, m₂ = 6000 кг
• μ = (1500 · 6000) / (1500 + 6000)
• μ = 9 000 000 / 7500 = 1200 кг

Ответ: приведенная масса 1200 кг (меньше массы легкого автомобиля).

Пример 3: Молекула водорода

Условие: два атома водорода, масса протона 1,67 × 10⁻²⁷ кг.

Решение:

• m₁ = m₂ = 1,67 × 10⁻²⁷ кг
• μ = (1,67 × 10⁻²⁷)² / (2 × 1,67 × 10⁻²⁷)
• μ = 0,835 × 10⁻²⁷ кг

Ответ: приведенная масса 8,35 × 10⁻²⁸ кг используется в расчете энергии колебаний молекулы.

Применение в физике

Классическая механика

• Колебательные системы: частота колебаний двух тел на пружине зависит от μ
• Задачи на столкновения: расчет скоростей после удара
• Движение в центральном поле: орбиты в системе двух тел

Квантовая механика

• Атом водорода: уравнение Шредингера с приведенной массой электрона и протона
• Молекулы: расчет колебательных и вращательных спектров
• Рассеяние частиц: сечения взаимодействия

Астрономия

• Двойные звезды: движение компонентов вокруг общего центра масс
• Система планета-спутник: приведенная масса близка к массе спутника
• Гравитационные волны: от слияния черных дыр

Связь с центром масс

Приведенная масса возникает при переходе к системе центра масс. Координата относительного положения r = r₂ - r₁ описывается уравнением:

μ · d²r/dt² = F

где F — сила взаимодействия между телами. Это уравнение идентично уравнению движения одной частицы массой μ.

Единицы измерения

• СИ: килограмм (кг)
• СГС: грамм (г)
• Атомная физика: атомная единица массы (а.е.м.), 1 а.е.м. ≈ 1,66 × 10⁻²⁷ кг
• Астрономия: масса Солнца (M☉), масса Земли (M⊕)

При расчетах важно использовать одинаковые единицы для обеих масс.

Приведенная масса и энергия

Кинетическая энергия относительного движения:

E_отн = (1/2) · μ · v²

где v — относительная скорость тел. В системе центра масс полная кинетическая энергия распределяется между телами пропорционально массам, но описывается через μ.

Типичные ошибки при расчете

1. Разные единицы: складывание масс в килограммах и граммах без перевода
2. Перестановка формулы: использование (m₁ + m₂)/(m₁ · m₂) вместо правильной
3. Игнорирование малых масс: в системе Солнце-планета приведенная масса ≈ масса планеты
4. Неправильный знак: масса всегда положительна

Проверка результата

Быстрые тесты для самоконтроля:

• μ всегда меньше любой из исходных масс
• При m₁ = m₂ результат должен быть ровно половиной
• Предельный переход: μ → 0 при m₁ → 0 или m₂ → 0
• Размерность результата совпадает с размерностью исходных масс

Заключение

Расчет приведенной массы — базовая операция в физике двухчастичных систем. Калькулятор упрощает вычисления и исключает арифметические ошибки при работе с малыми или большими числами. Понимание концепции приведенной массы необходимо для решения задач в механике, квантовой теории и астрофизике.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.