Расчёт числа Пи — формулы и онлайн-вычисление с заданной точностью

Как использовать калькулятор

Калькулятор вычисляет число Пи с заданной точностью тремя методами:

1. Выберите алгоритм — ряд Лейбница для наглядности, формулу Мачина для баланса скорости и простоты, или алгоритм Чудновских для максимальной точности
2. Укажите количество знаков — от 1 до 1000 (для ряда Лейбница рекомендуется не более 10 из-за медленной сходимости)
3. Нажмите «Вычислить» — система покажет результат и количество итераций, потребовавшихся для достижения точности

Результат отображается с разбивкой по 10 знаков для удобства проверки. Используйте кнопку копирования для переноса значения в инженерные расчёты.

Как производится расчёт

Разные алгоритмы используют различные математические подходы к вычислению π.

Ряд Лейбница

Самая простая, но медленная формула:

π = 4 × (1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + 1/9 − …)

Каждая итерация добавляет один член ряда. Для получения 10 правильных знаков требуется около 10 миллиардов операций.

Формула Мачина (1706 год)

Быстрая сходимость через арктангенсы:

π/4 = 4·arctan(1/5) − arctan(1/239)

где arctan(x) = x − x³/3 + x⁵/5 − x⁷/7 + …

Пример вычисления первых 7 знаков:

• arctan(1/5) ≈ 0.1973956
• arctan(1/239) ≈ 0.0041841
• π ≈ 4 × (4×0.1973956 − 0.0041841) = 3.141592

Алгоритм Чудновских

Современный метод, используемый для рекордных вычислений:

1/π = 12 × Σ ((-1)^k × (6k)! × (13591409 + 545140134k)) / ((3k)! × (k!)³ × 640320^(3k + 3/2))

Каждое слагаемое добавляет ≈14 знаков. Для 100 знаков достаточно 8 итераций.

Практические примеры расчётов

Сравнение методов для получения π ≈ 3.1415926535:

Пример 1: Школьный проект (3 знака)

Для получения 3.14 достаточно 120 итераций ряда Лейбница или 1 итерации формулы Мачина с 2 членами ряда Тейлора.

Пример 2: Инженерный расчёт (15 знаков)

Формула Мачина с 10 членами ряда Тейлора даёт: 3.141592653589793. Эта точность позволяет рассчитать окружность Земли с погрешностью менее 1 миллиметра.

Пример 3: Криптография (100 знаков)

Алгоритм Чудновских требует 8 итераций. Ряд Лейбница для той же точности потребовал бы больше операций, чем атомов в наблюдаемой вселенной.

Полезная информация

Термины

• Сходимость ряда — скорость приближения суммы к точному значению. Ряд Лейбница сходится линейно, Чудновских — сверхлинейно.
• Итерация — один шаг вычислений в циклическом алгоритме.
• Арктангенс — обратная тригонометрическая функция, используемая в быстрых формулах для π.

Частые ошибки

• Путаница с точностью float: стандартный тип float хранит 7 значащих цифр, double — 15. Для 1000 знаков требуется арифметика произвольной точности (библиотеки GMP, MPFR).
• Преждевременное округление: округление промежуточных результатов в формуле Мачина снижает точность финального ответа. Храните 2-3 запасных знака на каждом этапе.

Применение высокой точности

15 знаков Пи достаточно для расчёта сферы, охватывающей всю наблюдаемую вселенную, с точностью до размера водородного атома. Более 1000 знаков используются только для тестирования железа и программного обеспечения.

Заключение

Выберите алгоритм под вашу задачу: ряд Лейбница для понимания математики, Мачина для ручных расчётов, Чудновских для компьютерных вычислений с сотнями знаков. Введите требуемую точность в калькулятор выше — результат появится мгновенно.

Расчёты носят образовательный характер. Для научных публикаций и инженерных проектов критической важности используйте сертифицированные математические библиотеки и проверяйте результаты независимыми методами.

Часто задаваемые вопросы

Что ещё может пригодиться после

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.