Расчёт маятника — период, частота и длина онлайн

При решении задач по механике или проектировании часовых механизмов требуется точно определить временные характеристики колебаний. Калькулятор ниже рассчитает период, частоту и необходимую длину маятника для заданных параметров. Поддерживаются расчёты как для математического (точечного), так и для физического (реального твёрдого тела) маятника.

Обновлено:

Тип маятника
Ускорение свободного падения На Земле обычно 9.81 м/с² (от 9.78 на экваторе до 9.83 на полюсе)
Режим расчетаИспользуется для настройки часовых механизмов
Параметры математического маятника
Например: 0.994 м для секундных часов (T = 2 с)
Амплитуда колебаний При α > 15° требуется поправка на конечную амплитуду. 0° — малые колебания.

Как пользоваться калькулятором

  1. Выберите тип маятника. Для математического достаточно указать длину подвеса. Для физического потребуется ввести момент инерции, массу и расстояние от точки подвеса до центра масс.
  2. Задайте параметры. Введите длину в метрах или характеристики тела. Укажите ускорение свободного падения (по умолчанию 9,81 м/с²).
  3. Учтите амплитуду. При отклонениях больше 15° включите поправку на конечную амплитуду для точного результата.
  4. Получите результат. Калькулятор выдаст период колебаний T (в секундах), частоту f (в герцах) и циклическую частоту ω (рад/с).
  5. Обратный расчёт. Введите желаемый период, чтобы определить необходимую длину маятника для часового механизма или лабораторной установки.

Формулы расчёта

Математический маятник

Основная формула периода:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

Расчёт длины по периоду:

$$L = \frac{gT^2}{4\pi^2}$$

Обозначения:

Пример: Для маятника длиной 0,5 м на Земле:

$$T = 2 \times 3,1416 \times \sqrt{\frac{0,5}{9,81}} \approx 1,42 \text{ с}$$

Физический маятник

Формула периода:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}$$

Обозначения:

Пример: Однородный стержень длиной 1 м, подвешенный за конец ($I = \frac{1}{3}mL^2$, $d = \frac{L}{2}$):

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{1}{3}m \times 1^2}{mg \times 0,5}} = 2\pi\sqrt{\frac{2}{3g}} \approx 1,64 \text{ с}$$

Примеры расчётов для разных задач

ПрименениеТип маятникаИсходные данныеРезультат
Секундные часыМатематическийT = 2 с (полукачание 1 с), g = 9,81 м/с²L = 0,994 м
Настенные часыФизический (обод)I = 0,012 кг·м², m = 0,3 кг, d = 0,08 мT = 0,45 с
Маятник ФукоМатематическийL = 67 м, g = 9,81 м/с²T = 16,4 с
МетрономОбратный расчётТребуемый T = 0,5 сL = 6,2 см

Важные нюансы расчёта

Приближение малых углов

Стандартные формулы работают при угле отклонения $\alpha < 15°$. При больших амплитудах период увеличивается по закону:

$$T = T_0 \left(1 + \frac{1}{16}\alpha^2 + \frac{11}{3072}\alpha^4 + ...\right)$$

где $\alpha$ в радианах, $T_0$ — период для малых колебаний. При $\alpha = 30°$ ошибка составляет 1,7%, при $\alpha = 90°$ — уже 18%.

Влияние географической широты

Период маятника зависит от g, которое меняется:

Часы, отрегулированные в Лондоне, будут спешить в Экваториальной Африке из-за увеличения периода на 0,1%.

Различие моделей

ПараметрМатематическийФизический
МассаТочечнаяРаспределённая
ДлинаДлина нитиПриведённая $L_{пр} = \frac{I}{md}$
ПрименениеТеоретические расчётыМостовые конструкции, маховики

Заключение

Калькулятор маятника позволяет быстро определить динамические характеристики колебательной системы для учебных задач, проектирования механизмов или научных экспериментов. Используйте точные значения g для вашей местности и учитывайте поправку на амплитуду при больших углах отклонения.

Примечание: Расчёты выполнены в рамках классической механики для идеальных условий (отсутствие трения в точке подвеса, сопротивление воздуха и упругость нити не учитываются). Для прецизионных часовых механизмов требуется дополнительная коррекция на температуру и атмосферное давление.

Часто задаваемые вопросы

Чем отличается математический маятник от физического?

Математический маятник — идеализированная модель с точечной массой на невесомой нити. Физический маятник — реальное твёрдое тело, где масса распределена по объёму. Для расчёта физического маятника нужен момент инерции и расстояние от оси до центра масс.

Как рассчитать длину маятника по периоду?

Из формулы T = 2π√(L/g) следует L = gT²/(4π²). Для секундного маятника с периодом 2 секунды длина составит примерно 0,994 м при g = 9,81 м/с².

Почему период математического маятника не зависит от массы?

Масса входит в уравнение движения и силу тяжести одинаково, поэтому сокращается. Период зависит только от длины подвеса и ускорения свободного падения.

Какое ускорение свободного падения использовать в расчётах?

Стандартное значение 9,80665 м/с². Для точных расчётов учитывайте географическую широту и высоту: на экваторе g ≈ 9,78 м/с², на полюсе ≈ 9,83 м/с².

При каких условиях работают формулы расчёта?

Формулы справедливы для малых углов отклонения (до 15°), когда sin(α) ≈ α. При больших амплитудах период увеличивается и требуется введение поправочного коэффициента.

Как рассчитать период физического маятника?

Используйте формулу T = 2π√(I/(mgd)), где I — момент инерции относительно оси качания, m — масса, d — расстояние от оси до центра масс.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.