Расчет катета онлайн

Что такое катет прямоугольного треугольника

Катет — одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующих прямой угол (90°). Третья сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой и всегда является самой длинной стороной. Катеты обозначаются буквами a и b, гипотенуза — c. Знание хотя бы двух параметров треугольника позволяет вычислить остальные через теорему Пифагора или тригонометрические функции.

Расчет катета необходим в строительстве (определение диагоналей, уклонов), проектировании (конструкции ферм, лестниц), навигации, картографии и при решении учебных задач по геометрии. Онлайн-калькулятор избавляет от ручных вычислений и минимизирует ошибки.

Основные формулы для расчета катета

По теореме Пифагора

Если известны гипотенуза c и второй катет b, первый катет a находится так:

a = √(c² − b²)

Аналогично для катета b:

b = √(c² − a²)

Пример: c = 13 м, b = 5 м. Тогда a = √(169 − 25) = √144 = 12 м.

По углу и гипотенузе

Для катета, противолежащего углу α:

a = c × sin(α)

Для катета, прилежащего к углу α:

b = c × cos(α)

Пример: c = 20 см, α = 60°. Катет a = 20 × sin(60°) ≈ 20 × 0,866 = 17,32 см.

По углу и второму катету

Если известен угол α и противолежащий ему катет a, прилежащий катет b:

b = a / tan(α) или b = a × cot(α)

Если известен прилежащий катет b и угол α:

a = b × tan(α)

Пример: a = 8 м, α = 45°. Тогда b = 8 / tan(45°) = 8 / 1 = 8 м (равнобедренный прямоугольный треугольник).

По площади и второму катету

Площадь прямоугольного треугольника:

S = (a × b) / 2

Отсюда катет a:

a = (2 × S) / b

Пример: S = 24 см², b = 6 см. Тогда a = (2 × 24) / 6 = 8 см.

Как пользоваться калькулятором

1. Выберите известные данные: гипотенуза и катет, гипотенуза и угол, два угла и сторона, площадь и катет.
2. Введите значения в соответствующие поля (длины в одних единицах, углы в градусах).
3. Нажмите кнопку «Рассчитать» — калькулятор мгновенно выдаст длину искомого катета.
4. Проверьте результат: калькулятор автоматически подставит найденное значение в теорему Пифагора для контроля.

Калькулятор поддерживает вычисления в сантиметрах, метрах, миллиметрах. Для перевода единиц используйте конвертер длины.

Пошаговый алгоритм расчета вручную

Задача 1: найти катет по гипотенузе и катету

Дано: c = 25 см, b = 15 см.

1. Запишите теорему Пифагора: a² + b² = c².
2. Выразите a: a² = c² − b² = 625 − 225 = 400.
3. Извлеките корень: a = √400 = 20 см.

Ответ: катет a = 20 см.

Задача 2: найти катет по гипотенузе и углу

Дано: c = 50 м, α = 30°.

1. Определите, противолежащий или прилежащий катет ищете.
2. Для противолежащего: a = c × sin(30°) = 50 × 0,5 = 25 м.
3. Для прилежащего: b = c × cos(30°) = 50 × 0,866 ≈ 43,3 м.

Ответ: катет a = 25 м, катет b ≈ 43,3 м.

Задача 3: найти катет по площади и катету

Дано: S = 60 м², a = 12 м.

1. Используйте формулу площади: S = (a × b) / 2.
2. Выразите b: b = (2 × S) / a = 120 / 12 = 10 м.

Ответ: катет b = 10 м.

Проверка результата

После расчета подставьте значения в теорему Пифагора: a² + b² = c². Если равенство выполняется (с учетом округления), результат верен.

Пример: a = 20 см, b = 15 см, c = 25 см. Проверка: 400 + 225 = 625 ✓.

Для углов проверьте сумму: α + β + 90° = 180°. Также можно пересчитать через тригонометрию: sin(α) = a / c, cos(α) = b / c.

Типичные ошибки и как их избежать

• Перепутаны катет и гипотенуза: гипотенуза всегда длиннее катетов. Если c < a или c < b, данные ошибочны.
• Неправильные единицы измерения: смешение метров и сантиметров даёт ложный результат. Приводите все к одной единице.
• Отрицательное значение под корнем: означает, что треугольник с такими параметрами не существует. Проверьте исходные данные.
• Ошибки округления: для точности используйте минимум 2 знака после запятой, особенно при работе с тригонометрическими функциями.
• Неверный угол: углы острые (α, β < 90°). Если угол ≥ 90°, треугольник не прямоугольный.

Применение в реальных задачах

Строительство и проектирование

Расчет диагонали фундамента для проверки прямоугольности: если стороны 6 м и 8 м, диагональ (гипотенуза) должна быть 10 м. Обратная задача: зная диагональ и одну сторону, найти вторую.

Лестницы и уклоны

Определение высоты подъема лестницы, если известна длина марша (гипотенуза) и горизонтальная проекция (катет).

Навигация

Расчет кратчайшего расстояния между двумя точками на карте с прямоугольной системой координат.

Учебные задачи

Решение задач ЕГЭ, ОГЭ, олимпиад по геометрии, где требуется найти стороны или углы прямоугольного треугольника.

Дополнительные соотношения

Высота, проведенная к гипотенузе

Высота h, опущенная на гипотенузу, связана с катетами:

h = (a × b) / c

Гипотенуза делится высотой на два отрезка p и q:

a² = c × p, b² = c × q

Радиус вписанной окружности

r = (a + b − c) / 2

Радиус описанной окружности

R = c / 2 (центр описанной окружности — середина гипотенузы).

Таблица значений для стандартных углов

Используйте таблицу для быстрых расчетов без калькулятора при типовых углах.

Рекомендации и советы

• Проверяйте условие треугольника: сумма любых двух сторон больше третьей. Для прямоугольного: c > a и c > b.
• Округляйте осторожно: в строительстве допуски критичны, лучше работать с точными значениями.
• Используйте онлайн-калькулятор: он исключает арифметические ошибки и экономит время.
• Знайте формулы наизусть: теорема Пифагора и базовые тригонометрические функции — основа решения большинства задач.
• Проверяйте размерность: если вводите сантиметры, результат будет в сантиметрах.

Заключение

Расчет катета прямоугольного треугольника — базовая, но важная задача в математике, инженерии и повседневной практике. Онлайн-калькулятор позволяет мгновенно получить точный результат по любому набору известных данных: гипотенузе, второму катету, углам или площади. Знание формул и методов проверки обеспечивает контроль правильности вычислений и понимание геометрических закономерностей. Используйте калькулятор для учебы, работы и бытовых задач, где требуется точность и скорость.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.