Обновлено:
Расчёт длины
Расчёт длины – одна из базовых задач геометрии, с которой сталкиваются школьники, студенты, инженеры и строители. В зависимости от фигуры и известных параметров используются разные формулы: от теоремы Пифагора до интегральных выражений.
Ниже – справочник по основным случаям расчёта длины с формулами и примерами.
Длина окружности
Длина окружности – это расстояние по кривой, замыкающей круг. Рассчитывается по одной из двух формул:
- По радиусу: C = 2πr
- По диаметру: C = πd
Где π ≈ 3,14159, r – радиус, d – диаметр.
Пример. Радиус колеса – 0,35 м. Длина окружности: C = 2 × 3,14159 × 0,35 = 2,20 м. Именно столько проедет колесо за один полный оборот.
Длина дуги окружности
Дуга – часть окружности между двумя точками. Для расчёта длины дуги нужно знать радиус и центральный угол.
Формула в градусах:
L = (α / 360) × 2πr
Формула в радианах:
L = α × r
Где α – центральный угол, r – радиус.
Пример. Угол – 120°, радиус – 9 см:
L = (120 / 360) × 2 × 3,14159 × 9 = 18,85 см
Гипотенуза прямоугольного треугольника
Гипотенуза – самая длинная сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла. Расчёт длины гипотенузы выполняется по теореме Пифагора:
c = √(a² + b²)
Где a и b – катеты.
| Катет a | Катет b | Гипотенуза c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
Пример. Катеты равны 6 и 8:
c = √(36 + 64) = √100 = 10
Длина стороны произвольного треугольника
Когда треугольник не прямоугольный, для расчёта длины стороны применяют теорему косинусов:
c² = a² + b² − 2ab × cos(γ)
Где γ – угол между сторонами a и b.
Пример. Стороны a = 7, b = 10, угол между ними γ = 60°:
c² = 49 + 100 − 2 × 7 × 10 × cos(60°) = 149 − 140 × 0,5 = 149 − 70 = 79
c = √79 ≈ 8,89
Диагональ прямоугольника и параллелепипеда
Диагональ прямоугольника со сторонами a и b:
d = √(a² + b²)
Это та же формула Пифагора – диагональ является гипотенузой двух прямоугольных треугольников.
Диагональ параллелепипеда (пространственная) со сторонами a, b, c:
d = √(a² + b² + c²)
Пример. Комната 5 × 4 × 2,7 м. Длина диагонали от нижнего угла до верхнего противоположного:
d = √(25 + 16 + 7,29) = √48,29 ≈ 6,95 м
Длина хорды
Хорда – отрезок, соединяющий две точки на окружности. Для расчёта длины хорды по центральному углу:
h = 2r × sin(α / 2)
Где r – радиус, α – центральный угол в градусах.
Пример. Радиус 12 см, угол 90°:
h = 2 × 12 × sin(45°) = 24 × 0,7071 ≈ 16,97 см
Периметр многоугольника
Периметр – сумма длин всех сторон фигуры. Это самый простой расчёт длины замкнутой ломаной.
Формула для n-угольника:
P = a₁ + a₂ + … + aₙ
Для правильного многоугольника со стороной a и числом сторон n:
P = n × a
| Фигура | Формула периметра |
|---|---|
| Равносторонний треугольник | P = 3a |
| Квадрат | P = 4a |
| Правильный шестиугольник | P = 6a |
| Прямоугольник | P = 2(a + b) |
Длина кривой (вводный уровень)
Если кривая задана функцией y = f(x) на отрезке [a, b], длина кривой вычисляется по формуле:
L = ∫ₐᵇ √(1 + [f′(x)]²) dx
Это интегральная формула, которая сводит расчёт длины произвольной кривой к вычислению определённого интеграла от производной.
Простейший пример. Прямая y = 2x + 1 от x = 0 до x = 3:
f′(x) = 2, поэтому L = ∫₀³ √(1 + 4) dx = ∫₀³ √5 dx = 3√5 ≈ 6,71
Какой инструмент расчёта выбрать
Калькулятор длины выше поддерживает основные геометрические случаи: окружность, дугу, гипотенузу, сторону треугольника и диагональ. Достаточно выбрать тип фигуры и ввест известные параметры – результат отобразится мгновенно.
Для сложных случаев – длины кривых, спиралей, ломаных с большим числом звеньев – используются специализированные математические пакеты (WolframAlpha, GeoGebra).
Часто задаваемые вопросы
Чем отличается длина дуги от длины хорды?
Длина дуги – это расстояние вдоль кривой окружности между двумя точками. Длина хорды – это прямое расстояние между этими же точками, проходящее внутри круга. Дуга всегда длиннее хорды, если она не является полуокружностью.
Как рассчитать длину гипотенузы по двум катетам?
Используйте теорему Пифагора: c = √(a² + b²), где a и b – катеты, а c – гипотенуза. Например, при катетах 5 и 12 гипотенуза равна √(25 + 144) = √169 = 13.
Как найти длину окружности, если известен диаметр?
Умножьте диаметр на число π ≈ 3,14159. Формула: C = π × d. Если диаметр равен 10 см, длина окружности составит 31,42 см.
Что такое длина развертки и как её рассчитать?
Длина развертки – это сумма длин всех сторон развёрнутой фигуры. Для цилиндра она равна 2πr (боковая поверхность). Для произвольного многоугольника – сумма длин всех сторон.
Как рассчитать длину дуги окружности по углу?
Формула: L = (α / 360°) × 2πr, где α – угол в градусах, r – радиус. При угле 90° и радиусе 6 см длина дуги = (90/360) × 2 × 3,14 × 6 = 9,42 см.
Как найти длину стороны треугольника, если известны две стороны и угол?
Используйте теорему косинусов: c² = a² + b² − 2ab × cos(γ), где γ – угол между сторонами a и b. Извлеките квадратный корень из результата.