Расчет делителя онлайн

Описание и назначение

Расчет делителя онлайн — удобный способ быстро получить все делители натурального числа, их количество, сумму, проверить простоту, найти разложение на простые множители и выявить свойства вроде «совершенное», «избыточное» или «дефицитное». Такой инструмент полезен для учебы, олимпиад, программирования, анализа данных, криптографии и решения бытовых задач, где требуется проверка кратности или подбор размеров/пар.

Как пользоваться

1. Введите натуральное число N (обычно 1 ≤ N ≤ 10^12 для мгновенного ответа).
2. Нажмите «Рассчитать» — сервис выполнит факторизацию и сгенерирует делители.
3. Получите результат:
   • список всех делителей в возрастающем порядке;
   • разложение N на простые множители;
   • количество делителей τ(N) и сумму σ(N);
   • метки: простое/составное, совершенное/избыточное/дефицитное;
   • при необходимости — пары делителей (a, b) такие, что a·b = N.

Совет: для очень больших чисел введите диапазон и проверьте только свойства (простота, τ(N), σ(N)) — это сэкономит время.

Обозначения и формулы

• N — натуральное число.
• Факторизация: N = p1^a1 · p2^a2 · … · pk^ak, где pi — простые, ai ≥ 1.
• Количество делителей:
  • τ(N) = (a1 + 1)(a2 + 1)…(ak + 1).
• Сумма делителей:
  • σ(N) = Π_i ((p_i^(a_i + 1) − 1) / (p_i − 1)).
• Признаки:
  • простое число: τ(N) = 2;
  • совершенное: σ(N) = 2N;
  • избыточное: σ(N) > 2N; дефицитное: σ(N) < 2N.

Алгоритм расчета

• Базовый метод деления:
  • Проверяем делители от 2 до ⌊√N⌋.
  • Если d | N, то сразу получаем пару делителей d и N/d.
  • Сложность O(√N), что быстро для N до ~10^10 при оптимизациях.
• Улучшения:
  • Делим на 2, затем перебираем только нечетные.
  • Используем решето для предварительного списка простых (до √N).
• Для больших N:
  • Тест простоты Miller–Rabin (вероятностный).
  • Факторизация Pollard’s Rho.
  • Ограничиваем вывод: не печатаем все делители, только агрегаты.

Пошаговый пример

Рассчитаем делители 360.

1. Факторизация: 360 = 2^3 · 3^2 · 5^1.
2. Количество делителей: τ = (3+1)(2+1)(1+1) = 24.
3. Сумма делителей:
   • для 2^3: (2^4 − 1)/(2 − 1) = 15;
   • для 3^2: (3^3 − 1)/(3 − 1) = 13;
   • для 5^1: (5^2 − 1)/(5 − 1) = 6;
   • σ = 15 · 13 · 6 = 1170.
4. Свойство: σ = 1170, 2N = 720 → число избыточное.
5. Генерация делителей:
   • строим все комбинации 2^i · 3^j · 5^k, где i∈[0..3], j∈[0..2], k∈[0..1];
   • сортируем по возрастанию.

Итог: 24 делителя, начиная с 1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 360.

Частые задачи и решения

• Проверка кратности: N делится на d, если N mod d = 0. Например, кратность 9 — сумма цифр N делится на 9.
• Поиск пар делителей: перебирать d ≤ √N и формировать пары (d, N/d).
• Подбор размеров: нужно a·b = N с минимальной разницей |a − b| — возьмите ближайший к √N делитель.
• Количество делителей без полного списка: найдите факторизацию и примените τ(N).

Крайние случаи и ограничения

• N = 0: делители не определены — возвращаем предупреждение.
• N = 1: делители {1}, τ = 1, σ = 1.
• Отрицательные N: обычно считаем делители по |N|, без учета знака.
• Очень большие N (> 10^12):
  • полный список делителей может быть огромным (до ~N^o(1));
  • ограничьте вывод и используйте вероятностные методы.

Проверка результата

• Сверка количества: число делителей должно соответствовать τ(N).
• Перемножение пар: для каждой пары (d, N/d) произведение = N.
• Контроль суммы: сумма всех делителей совпадает с σ(N).
• Повторная проверка: протестируйте несколько случайных d из списка: N mod d = 0.

Подсказки и оптимизация

• Используйте 64-битные целые для N до 9·10^18, но учитывайте переполнения при возведении в степень.
• Для массовой проверки чисел заранее постройте решето Эратосфена до 10^6—10^7.
• Кэшируйте факторизации и результаты τ, σ для повторных запросов.
• Формируйте делители на лету и обрывайте вывод по лимиту (например, первые 10 000).

Применение на практике

• Образование: разложение чисел, теория делимости, олимпиадные задачи.
• Разработка: оптимизация циклов, проверка граничных условий, генерация тестов.
• Криптография: базовые проверки составности, предварительный анализ параметров.
• Инженерия данных: группировка по модулю, нормализация и разбиение на блоки.

Ошибки и предупреждения

• Ввод с пробелами и ведущими нулями: нормализуйте число перед расчетом.
• Переполнение при σ(N): используйте длинную арифметику или bigint.
• Таймауты для больших N: применяйте Miller–Rabin и Pollard’s Rho с ограничением времени.

Короткие примеры

• N = 28 → 1, 2, 4, 7, 14, 28; τ = 6; σ = 56 = 2N → совершенное.
• N = 97 → простое; делители: 1 и 97; τ = 2; σ = 98.
• N = 1024 = 2^10 → τ = 11; делители — степени двойки от 2^0 до 2^10.

Вывод

Расчет делителя онлайн экономит время и снижает риск ошибок: разложение на множители, генерация полного списка делителей, τ(N), σ(N) и свойства числа доступны за секунды. Используйте инструмент для учебы, анализа и быстрого принятия решений — просто введите число и нажмите «Рассчитать».

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.