Простое число

Что такое простое число

Простое число — это натуральное число, которое больше 1 и делится нацело только на 1 и на само на себя. Другими словами, у простого числа ровно два делителя.

Первые простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Важное исключение: число 1 не является простым, так как у него только один делитель — оно само.

Как проверить, простое ли число

Метод полного перебора

Самый простой, но медленный способ — перебрать все числа от 2 до n − 1 и проверить, делится ли n на каждое из них:

• Если найдётся хотя бы один делитель — число составное.
• Если делителей не будет — число простое.

Оптимизированный метод

Проверку можно ускорить, перебирая делители только до √n (корень из n):

• Если число n делится на какое-то число k ≤ √n, то оно делится и на n/k.
• Поэтому достаточно проверить делители до √n.

Пример: для числа 49 проверяем делители до √49 = 7. Находим, что 49 ÷ 7 = 7 — число составное.

Проверка чётности

• 2 — единственное чётное простое число.
• Все остальные простые числа нечётные.

Поэтому перед проверкой можно сразу исключить все чётные числа (кроме 2).

Примеры проверки

Является ли 17 простым?

Проверяем делители до √17 ≈ 4,1:

• 17 ÷ 2 = 8,5 (не делится)
• 17 ÷ 3 ≈ 5,67 (не делится)
• 17 ÷ 4 = 4,25 (не делится)

Делителей нет → 17 простое число.

Является ли 21 простым?

Проверяем делители до √21 ≈ 4,6:

• 21 ÷ 2 = 10,5 (не делится)
• 21 ÷ 3 = 7 (делится!)

Найден делитель → 21 составное число.

Таблица простых чисел до 100

Всего 25 простых чисел до 100.

Особенности простых чисел

• 2 и 3 — единственные простые числа-соседи (отличаются на 1).
• Близнецы — пары простых чисел, отличающихся на 2: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19).
• Простые числа распределены неравномерно — чем больше числа, тем реже встречаются простые.
• Основная теорема арифметики: любое натуральное число можно разложить на простые множители единственным способом.

Применение простых чисел

• Криптография: простые числа используют в алгоритме RSA для защиты данных.
• Проверка делимости: помогают упростить дроби и вычисления.
• Теория чисел: фундаментальное понятие в математике.
• Компьютерные системы: используются при создании хеш-таблиц и генерации случайных чисел.

Дисклеймер

Статья предоставляет информацию в образовательных целях. Проверка больших чисел требует специализированных алгоритмов и вычислительных ресурсов. Для практического применения используйте специальные программы и библиотеки.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.