Приведение дробей к НОЗ

Что такое наименьший общий знаменатель

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это наименьшее число, на которое делятся знаменатели всех дробей, участвующих в операции.

Например, для дробей 1/4 и 1/6:

• Знаменатели: 4 и 6
• Числа, на которые делится 4: 4, 8, 12, 16…
• Числа, на которые делится 6: 6, 12, 18…
• Наименьшее общее число: 12

НОЗ = 12 — это наименьшее кратное обоих знаменателей.

Пошаговая инструкция

Шаг 1: Найдите НОК знаменателей

Чтобы найти наименьший общий знаменатель, нужно найти НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей:

1. Разложите каждый знаменатель на простые множители
2. Выпишите все множители с наибольшей степенью
3. Перемножьте их

Пример: знаменатели 12 и 18

• 12 = 2² × 3
• 18 = 2 × 3²
• НОК = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

Шаг 2: Найдите дополнительный множитель

Для каждой дроби разделите НОЗ на её знаменатель:

• Дополнительный множитель для первой дроби = НОЗ ÷ знаменатель₁
• Дополнительный множитель для второй дроби = НОЗ ÷ знаменатель₂

Шаг 3: Умножьте числитель и знаменатель

Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель:

$$\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$$

где k — дополнительный множитель.

Методология с примерами

Пример 1: Две дроби с простыми знаменателями

Приведите дроби 3/8 и 5/12 к общему знаменателю.

Решение:

1. Найдём НОК(8, 12):

   • 8 = 2³
   • 12 = 2² × 3
   • НОК = 2³ × 3 = 24

2. Дополнительные множители:

   • Для 3/8: 24 ÷ 8 = 3
   • Для 5/12: 24 ÷ 12 = 2

3. Преобразуем дроби:

   • 3/8 = (3 × 3)/(8 × 3) = 9/24
   • 5/12 = (5 × 2)/(12 × 2) = 10/24

Ответ: 9/24 и 10/24

Пример 2: Три дроби

Приведите дроби 1/4, 1/6 и 1/9 к общему знаменателю.

Решение:

1. Найдём НОК(4, 6, 9):

   • 4 = 2²
   • 6 = 2 × 3
   • 9 = 3²
   • НОК = 2² × 3² = 36

2. Дополнительные множители:

   • 36 ÷ 4 = 9
   • 36 ÷ 6 = 6
   • 36 ÷ 9 = 4

3. Преобразуем:

   • 1/4 = 9/36
   • 1/6 = 6/36
   • 1/9 = 4/36

Ответ: 9/36, 6/36 и 4/36

Пример 3: Дроби с одним простым и одним составным знаменателем

Приведите дроби 2/5 и 3/15 к общему знаменателю.

Решение:

1. НОК(5, 15):

   • 5 = 5
   • 15 = 3 × 5
   • НОК = 15

2. Дополнительные множители:

   • 15 ÷ 5 = 3
   • 15 ÷ 15 = 1

3. Преобразуем:

   • 2/5 = 6/15
   • 3/15 = 3/15 (уже в нужной форме)

Ответ: 6/15 и 3/15

Таблица быстрого поиска НОК для частых знаменателей

Типичные ошибки

❌ Ошибка 1: Путают НОЗ с просто произведением знаменателей.

• Неправильно: 1/4 + 1/6 = ?/24 (24 = 4 × 6)
• Правильно: 1/4 + 1/6 = ?/12 (12 = НОК(4, 6))

❌ Ошибка 2: Забывают умножить числитель на дополнительный множитель.

• Неправильно: 3/8 = 3/24 (умножили только знаменатель)
• Правильно: 3/8 = 9/24 (умножили и числитель, и знаменатель на 3)

❌ Ошибка 3: Неправильно разлагают числа на множители.

• Неправильно: 12 = 2 × 6 (не полное разложение)
• Правильно: 12 = 2² × 3 (разложение на простые множители)

Когда применяется приведение к общему знаменателю

Сложение и вычитание дробей

Без общего знаменателя операции невозможны:

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$$

Сравнение дробей

Чтобы сравнить 5/8 и 7/12, приводим к НОЗ = 24:

• 5/8 = 15/24
• 7/12 = 14/24
• 15/24 > 14/24, значит 5/8 > 7/12

Упрощение выражений

При решении уравнений и упрощении алгебраических выражений часто требуется привести дроби к одному знаменателю.

Полезные советы

✅ Для двух чисел, одно из которых кратно другому, НОК равен большему числу. Например, НОК(4, 12) = 12, так как 12 делится на 4.

✅ Если знаменатели — взаимно простые числа (не имеют общих делителей), то НОЗ = произведение знаменателей. Например, 1/3 + 1/5 → НОЗ = 15.

✅ Для проверки вычислений разделите найденный НОЗ на каждый исходный знаменатель. Должны получиться натуральные числа.

✅ Попробуйте использовать разложение на простые множители — это самый надёжный метод для больших чисел.

Информация в статье предназначена для образовательных целей. При решении сложных задач рекомендуется проверять вычисления дополнительными методами.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.