Посчитать уравнение

Нужно быстро посчитать уравнение, а под рукой нет ни учебника, ни репетитора? Онлайн-калькулятор решает уравнения любого типа за секунды – достаточно ввести выражение. Ниже – инструмент для расчёта и подробный разбор основных типов уравнений с формулами.

Калькулятор уравнений

Что такое уравнение и как его посчитать

Уравнение – это равенство с неизвестной переменной (обычно обозначается буквой x). Посчитать уравнение – значит найти все значения переменной, при которых равенство выполняется верно. Такие значения называются корнями уравнения.

Например, в уравнении 2x + 6 = 14 корнем будет x = 4, потому что 2 · 4 + 6 = 14.

Каждый тип уравнений решается своим набором правил. Основные шаги:

1. Определить тип уравнения.
2. Упростить выражение (раскрыть скобки, привести подобные слагаемые).
3. Применить соответствующую формулу или метод.
4. Проверить корни подстановкой в исходное уравнение.

Линейные уравнения

Линейное уравнение – уравнение вида ax + b = 0, где a ≠ 0. Переменная x стоит в первой степени, нет произведений и делений на переменную.

Формула решения:

Пример: 3x − 12 = 0

• a = 3, b = −12
• x = −(−12) / 3 = 4

Ответ: x = 4. Проверка: 3 · 4 − 12 = 0 ✓

Если после упрощения коэффициент a = 0 и b = 0 – уравнение имеет бесконечно много решений. Если a = 0 и b ≠ 0 – решений нет.

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Это одна из самых распространённых тем школьной алгебры.

Дискриминант и формула корней

Для решения вычисляют дискриминант:

Затем находят корни:

• Если D > 0: два корня – $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$
• Если D = 0: один корень – $x = \frac{-b}{2a}$
• Если D < 0: вещественных корней нет

Пример: x² − 5x + 6 = 0

• a = 1, b = −5, c = 6
• D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
• D > 0, значит два корня:
  • x₁ = (5 + 1) / 2 = 3
  • x₂ = (5 − 1) / 2 = 2

Ответ: x = 2 и x = 3. Проверка: 2² − 5 · 2 + 6 = 0 ✓ и 3² − 5 · 3 + 6 = 0 ✓

Формула Виета

Если a = 1 (уравнение x² + px + q = 0), корни можно найти через формулы Виета:

• x₁ + x₂ = −p
• x₁ · x₂ = q

Метод удобен, когда корни – целые числа. Для уравнения x² − 5x + 6 = 0: сумма корней = 5, произведение = 6. Подходят числа 2 и 3.

Кубические уравнения

Уравнение вида ax³ + bx² + cx + d = 0. Решение сложнее, но если уравнение приводимое (есть целочисленный корень), используют метод подбора и деления.

Пример: x³ − 6x² + 11x − 6 = 0

Подставим x = 1: 1 − 6 + 11 − 6 = 0 ✓

Значит, (x − 1) – множитель. Делим полином на (x − 1) и получаем x² − 5x + 6 = 0. Это квадратное уравнение с корнями x = 2 и x = 3.

Итого: x = 1, x = 2, x = 3.

Для неприводимых кубических уравнений используют формулу Кардано, но она громоздка – проще воспользоваться калькулятором.

Показательные уравнения

Показательное уравнение содержит неизвестную в показателе степени: aˣ = b.

Метод решения – привести обе части к одному основанию или взять логарифм.

Пример: 2ˣ = 32

32 = 2⁵, значит 2ˣ = 2⁵, откуда x = 5.

Пример сложнее: 3ˣ = 20

Здесь привести к одному основанию нельзя. Берём логарифм:

• x · ln 3 = ln 20
• x = ln 20 / ln 3 ≈ 2,996 / 1,099 ≈ 2,73

Логарифмические уравнения

Содержат переменную под знаком логарифма: log_a(x) = b.

Решение: x = aᵇ, с учётом области определения (аргумент логарифма должен быть положительным).

Пример: log₂(x) = 5

x = 2⁵ = 32.

Проверка: log₂(32) = 5 ✓

Тригонометрические уравнения

В тригонометрических уравнениях неизвестная стоит под функцией sin, cos, tg или ctg. У таких уравнений обычно бесконечно много корней, которые записывают с использованием периода функции.

Пример: sin(x) = 0

Корни: x = πn, где n – любое целое число (…, −2π, −π, 0, π, 2π, …).

Пример: cos(x) = 1/2

Корни: x = ±π/3 + 2πn, где n ∈ ℤ.

Какой метод выбрать

Типичные ошибки при решении уравнений

• Забыть проверить область определения. Деление на переменную, логарифм, корень – везде есть ограничения. Найденный корень может не входить в ОДЗ.
• Потерять корни при делении на выражение с переменной. Деление обеих частей на (x − 2) уничтожает корень x = 2. Вместо деления выносят множитель за скобку.
• Не учитывать периодичность тригонометрических функций. Уравнение sin(x) = 1/2 имеет не один корень π/6, а бесконечное множество.
• Ошибиться в знаках при раскрытии скобок. Особенно при вычитании: −(2x − 3) = −2x + 3, а не −2x − 3.

Частые примеры для тренировки

Все эти уравнения можно посчитать с помощью калькулятора выше – введите выражение и получите ответ с подробным решением.