Посчитать сумму чисел от 1 до N
Формула суммы чисел от 1 до N
Сумму первых n натуральных чисел находят по формуле:
S = n × (n + 1) / 2
Это формула суммы арифметической прогрессии, где каждый член последовательности увеличивается на единицу. Метод приписывают Карлу Фридриху Гауссу – в детстве он заметил эту закономерность при расчёте суммы чисел от 1 до 100.
Почему формула работает
Пара чисел, равноудалённых от концов последовательности, всегда дают одинаковую сумму:
- 1 + 100 = 101
- 2 + 99 = 101
- 3 + 98 = 101
Всего таких пар n / 2, поэтому:
S = n/2 × (1 + n) = n(n + 1)/2
Примеры расчёта
| Диапазон | Расчёт | Результат |
|---|---|---|
| От 1 до 10 | 10 × 11 / 2 | 55 |
| От 1 до 50 | 50 × 51 / 2 | 1275 |
| От 1 до 100 | 100 × 101 / 2 | 5050 |
| От 1 до 1000 | 1000 × 1001 / 2 | 500 500 |
Как посчитать: пошаговая инструкция
- Возьмите число n – последнее число в последовательности.
- Умножьте n на (n + 1).
- Разделите результат на 2.
Ниже – калькулятор для быстрого расчёта суммы от 1 до любого числа.
Частные случаи
Сумма только нечётных чисел
Для нечётных чисел от 1 до n (где n – нечётное):
S = ((n + 1)/2)²
Пример: сумма нечётных от 1 до 9: ((9 + 1)/2)² = 5² = 25 (1+3+5+7+9).
Сумма только чётных чисел
Для чётных чисел от 2 до n (где n – чётное):
S = n/2 × (n/2 + 1)
Пример: сумма чётных от 2 до 10: 5 × 6 = 30 (2+4+6+8+10).
Таблица сумм для проверки
| n | Сумма от 1 до n |
|---|---|
| 5 | 15 |
| 20 | 210 |
| 50 | 1275 |
| 100 | 5050 |
| 200 | 20 100 |
| 500 | 125 250 |
Данные в таблице – результаты расчёта по формуле S = n(n+1)/2.
Формула применима для любых натуральных чисел. Для больших значений n результат растёт квадратично – сумма от 1 до 10 000 уже превышает 50 миллионов.