Обновлено:

Посчитать определитель матрицы онлайн: быстро рассчитать детерминант

Этот калькулятор помогает посчитать определитель матрицы онлайн — от 2×2 до больших размеров. Вы получите точное значение детерминанта, при необходимости пошаговое решение и подсказки по проверке. Инструмент полезен студентам, школьникам, преподавателям и инженерам, которые регулярно работают с линейной алгеброй.

Содержание статьи
Входные данные матрицы Укажите n от 1 до 8. Для учебных задач чаще всего используют 2, 3 или 4. Можно быстро подставить популярный пример для проверки формул и расчётов.
Каждый элемент матрицы: целое, дробное число или простая дробь (например, 2, -1.5, 3/4). Текущая дата помогает фиксировать попытку решения, полезно для конспектов и отчётов.

Зачем нужен определитель матрицы

Определитель матрицы (детерминант) — ключевая характеристика квадратной матрицы. Он показывает:

Он активно используется в линейной алгебре, аналитической геометрии, численных методах, механике, экономике.

Как пользоваться онлайн‑калькулятором определителя

  1. Выберите размер матрицы: 2×2, 3×3 или произвольный n×n (обычно до 8×8/10×10).
  2. Введите элементы:
    • числа в формате 2, -5, 3.75, 1/2 (если поддерживаются дроби);
    • каждый элемент в свою ячейку.
  3. Нажмите “Посчитать определитель”.
  4. Получите результаты:
    • значение det A;
    • при поддержке — пошаговое решение (разложение по минорам или метод Гаусса);
    • сообщения об ошибках ввода.

Рекомендуется проверить исходные данные перед расчётом: неверный знак или пропущенный элемент полностью меняет результат.

Базовые формулы: как посчитать определитель матрицы

Определитель матрицы 2×2

Для матрицы

\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]

определитель:

\[ \det A = ad - bc. \]

Пример.

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow \det A = 2\cdot 4 - 3\cdot(-1) = 8 + 3 = 11. \]

Определитель матрицы 3×3 (правило Саррюса)

Для матрицы

\[ A = \begin{pmatrix} a*{11} & a*{12} & a*{13}\\ a*{21} & a*{22} & a*{23}\\ a*{31} & a*{32} & a\_{33} \end{pmatrix} \]

используют правило Саррюса:

  1. Дописываем первые два столбца справа.
  2. Считаем сумму произведений по трём диагоналям вниз.
  3. Вычитаем сумму произведений по трём диагоналям вверх.

В алгебраической форме:

[ \det A = a*{11}a*{22}a_{33}

Универсальный метод: разложение по минорам

Для матрицы n×n используется разложение по строке или столбцу:

\[ \det A = \sum*{j=1}^{n} a*{ij} A\_{ij}, \]

где:

Совет. Выбирайте строку или столбец с максимальным количеством нулей — это резко сокращает объём вычислений.

Метод Гаусса для вычисления определителя

Для больших матриц вручную разложение по минорам неудобно. Чаще применяют метод Гаусса:

  1. Преобразуйте матрицу к верхнетреугольному виду элементарными преобразованиями строк.
  2. Учтите влияние преобразований:
    • перестановка двух строк: det меняет знак;
    • умножение строки на число k: det умножается на k;
    • прибавление к строке другой строки, умноженной на число: det не меняется.
  3. После приведения к верхнетреугольному виду определитель равен произведению диагональных элементов, скорректированному с учётом этих операций.

Калькулятор может делать это автоматически, выдавая только конечное значение.

Типичные ошибки при вычислении определителя

  1. Путаница знаков:
    • забывают минус при ad − bc;
    • ошибаются в знаке алгебраического дополнения \((-1)^{i+j}\).
  2. Неверная строка или столбец для минора:
    • не ту строку/столбец “вычеркивают”.
  3. Ошибки при длинных цепочках умножений:
    • особенно при матрицах 3×3 и больше.
  4. Игнорирование изменений при методе Гаусса:
    • меняют строки местами, но не меняют знак det;
    • умножают строку на число, но не учитывают этот множитель.

Использование онлайн‑калькулятора позволяет быстро обнаружить такие ошибки: достаточно сравнить свой результат с вычисленным автоматически.

Как проверить результат

Чтобы убедиться, что определитель посчитан правильно, можно:

Если значения совпадают — ваш алгоритм и вычисления, скорее всего, корректны.

Практическое применение детерминанта

Определитель матрицы нужен не только “для зачёта”:

Используя онлайн‑калькулятор, вы можете быстро посчитать определитель матрицы и сосредоточиться на понимании теории и решении задач, а не на рутинной арифметике.

Часто задаваемые вопросы

Как посчитать определитель матрицы 2×2 по формуле?

Для матрицы 2×2 определитель считается по формуле: det = a·d − b·c, где матрица [[a, b], [c, d]]. Просто перемножьте элементы главной диагонали и вычтите произведение побочной.

Как посчитать определитель матрицы 3×3 вручную?

Для матрицы 3×3 часто используют правило Саррюса: дописывают первые два столбца справа, считают сумму произведений по трём диагоналям вниз и вычитают сумму произведений по трём диагоналям вверх.

Какая формула для определителя через миноры и алгебраические дополнения?

Определитель матрицы n×n можно вычислить разложением по строке или столбцу: det A = Σ aᵢⱼ·Aᵢⱼ, где Aᵢⱼ — алгебраическое дополнение элемента aᵢⱼ, равное (−1)⁽ⁱ⁺ʲ⁾·Mᵢⱼ, а Mᵢⱼ — минор.

Что делать, если определитель матрицы равен нулю?

Если определитель равен нулю, матрица вырождена: система уравнений может не иметь решений или иметь бесконечно много, матрица не имеет обратной, ранг меньше размера.

Как проверить, правильно ли я посчитал определитель матрицы?

Проверьте расчёт другим методом (например, разложением по другой строке или столбцу), используйте метод Гаусса с учётом перестановок строк, либо сравните результат с онлайн-калькулятором.

Можно ли посчитать определитель матрицы с дробями и отрицательными числами?

Да, формулы одинаково работают для целых, дробных и отрицательных чисел. Главное — аккуратно выполнять умножение и сложение и не терять знаки при вычислениях.

Как посчитать определитель матрицы через приведение к треугольному виду?

Матрицу приводят элементарными преобразованиями к верхнетреугольному виду. Определитель равен произведению диагональных элементов с учётом изменений от перестановки строк и умножения строк на число.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.