Посчитать матрицу

Первое, что хочется сделать, когда нужно быстро умножить, найти детерминант или обратную – просто посчитать матрицу без долгих выкладок. Ниже – удобный онлайн‑калькулятор и короткие правила, чтобы не ошибиться.

Как посчитать матрицу онлайн

Калькулятор выше считает типовые операции линейной алгебры для матриц 2×2, 3×3, 4×4 и произвольного размера, если это позволяет операция.

Что умеет калькулятор:

• сложение и вычитание матриц одинакового размера;
• умножение матриц A(m×n) и B(n×p), умножение на скаляр;
• транспонирование, след tr(A), возведение квадратной матрицы в степень;
• детерминант det(A) квадратной матрицы;
• обратная матрица A⁻¹ (если det(A) ≠ 0);
• ранг матрицы, приведённая ступенчатая форма (RREF);
• решение СЛАУ Ax=b: точное решение, статус (единственное/бесконечное/нет решений).

Параметры и логика расчёта:

• размеры матриц: задаются как m×n; для произведения A·B требуется совпадение n(A)=m(B);
• детерминант и A⁻¹ доступны только для квадратных матриц;
• ранжирование и решение СЛАУ выполняются методом Гаусса‑Жордана с частичным выбором главного элемента; детерминант – через приведение к треугольной форме; для 3×3 дополнительно используется правило Саррюса;
• округление управляется параметром точности; при |x| < 1e−12 значения трактуются как 0 для устойчивости.

Как посчитать матрицу вручную?

Сложение и вычитание

Складываются и вычитаются только матрицы одинакового размера: c_ij = a_ij ± b_ij.

Пример. A=[[1, −2], [0, 5]], B=[[3, 4], [−1, 2]]:

• A + B = [[4, 2], [−1, 7]]
• A − B = [[−2, −6], [1, 3]]

Умножение матриц (правило совместимости)

Перемножать можно A(m×n) и B(n×p). Элемент результата C(m×p) вычисляется как c_ij = Σ_k a_ik·b_kj.

Пример. A(2×3)=[[1, 2, 0], [−1, 3, 2]], B(3×2)=[[3, 1], [−2, 4], [5, 0]]:

• c_11 = 1·3 + 2·(−2) + 0·5 = −1
• c_12 = 1·1 + 2·4 + 0·0 = 9
• c_21 = (−1)·3 + 3·(−2) + 2·5 = 1
• c_22 = (−1)·1 + 3·4 + 2·0 = 11

Итог: C = [[−1, 9], [1, 11]]. Важно: AB ≠ BA в общем случае.

Транспонирование, след

• Транспонирование: Aᵗ – матрица, у которой строки и столбцы поменяны местами: (Aᵗ)_ij = A_ji.
• След квадратной матрицы: tr(A) = Σ_i a_ii – сумма диагональных элементов. Полезен при проверках и в формулах.

Детерминант: 2×2, 3×3 (правило Саррюса) и Гаусс

• 2×2: для A=[[a, b], [c, d]] det(A) = ad − bc.

Пример. [[2, 3], [−1, 4]]: det = 2·4 − 3·(−1) = 11.

• 3×3: правило Саррюса. Сложите произведения «нисходящих» диагоналей и вычтите сумму «восходящих».

Пример. A=[[1, 2, 3], [0, −1, 4], [2, 5, −2]]:

• сумма нисходящих: 1·(−1)·(−2) + 2·4·2 + 3·0·5 = 2 + 16 + 0 = 18

• сумма восходящих: 3·(−1)·2 + 1·4·5 + 2·0·(−2) = −6 + 20 + 0 = 14

• det(A) = 18 − 14 = 4

• n×n: метод Гаусса (приведение к верхнетреугольной форме). det(A) – произведение диагонали итоговой треугольной матрицы с поправкой на операции над строками:

  • перестановка двух строк меняет знак det;
  • умножение строки на k умножает det на k;
  • прибавление к строке кратной другой строки det не меняет.

Метод Гаусса предпочтителен для 4×4 и больше – он быстрее и менее ошибкоопасен.

Обратная матрица: когда существует и как найти

Обратимая матрица – квадратная с det(A) ≠ 0. Тогда существует A⁻¹, такая что A·A⁻¹ = I.

• 2×2: A=[[a, b], [c, d]], A⁻¹ = (1/det(A))·[[d, −b], [−c, a]].

Пример. A=[[2, 3], [−1, 4]], det=11: A⁻¹ = (1/11)·[[4, −3], [1, 2]].

• 3×3 и больше: используйте метод Гаусса‑Жордана (приписываем справа I, приводим A к I, справа получается A⁻¹) или LU‑разложение. После расчёта проверьте A·A⁻¹≈I с учётом округления.

Если det близок к нулю, матрица плохо обусловлена: численные ошибки усиливаются. Увеличьте точность или примените регуляризацию.

Ранг и решение Ax = b

Ранг – максимальное число линейно независимых строк (или столбцов). На практике находится по приведённой ступенчатой форме (RREF).

Пример ранга. A=[[1, 2, 3], [2, 4, 6], [0, 1, 1]]. Вторая строка равна 2·первой, значит rank(A)=2.

Решение СЛАУ Ax=b:

• если det(A) ≠ 0 (для квадратной A), решение единственно: x = A⁻¹b;
• в общем случае используйте Гаусса‑Жордана; сравните rank(A) и rank([A|b]).

Пример (Крамер, 2×2). 2x + y = 5; −x + 3y = 1. A=[[2,1],[−1,3]], b=[5,1], det(A)=7.

• x = det([[5,1],[1,3]])/7 = 14/7 = 2
• y = det([[2,5],[−1,1]])/7 = 7/7 = 1

Типичные ошибки и быстрые проверки

• Несовместимые размеры при умножении: n(A) ≠ m(B).
• Порядок важен: AB и BA обычно разные.
• Детерминант и обратная определены только для квадратных матриц.
• При вычислении det по Саррюсу часто теряют знак или диагональ.
• При перестановке строк не меняют знак det – это ошибка.
• Округление: для плохо обусловленных матриц малые погрешности растут; увеличьте точность.
• Быстрая проверка: tr(AᵗA) ≥ 0; A·A⁻¹≈I; det(AB)=det(A)·det(B); det(Aᵗ)=det(A).

Краткая памятка по свойствам

• Iₙ – единичная матрица; A·I = I·A = A.
• (AB)ᵗ = BᵗAᵗ; (A⁻¹)ᵗ = (Aᵗ)⁻¹ (если A обратима).
• det(AB)=det(A)·det(B); det(Aᵗ)=det(A).
• Если строка (или столбец) нулевая – det(A)=0.
• Симметричная: Aᵗ=A; ортогональная: AᵗA=I ⇒ A⁻¹=Aᵗ.
• Треугольная: det равен произведению диагонали; след – сумма диагонали.

Источники и справка

• Матрица (математика) – определения, операции и свойства: https://ru.wikipedia.org/wiki/Матрица_(математика)
• Определитель – методы и свойства детерминанта: https://ru.wikipedia.org/wiki/Определитель
• Обратная матрица – критерии обратимости и методы: https://ru.wikipedia.org/wiki/Обратная_матрица