Посчитать матрицу

Основные операции с матрицами

Сложение и вычитание матриц

Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковой размерности. Операция выполняется поэлементно: соответствующие элементы складываются или вычитаются.

Пример:

Даны две матрицы 2×2:

A = | 3  5 |     B = | 1  2 |
    | 2  4 |         | 3  1 |

Сложение A + B:

A + B = | 3+1  5+2 | = | 4  7 |
        | 2+3  4+1 |   | 5  5 |

Умножение матрицы на число

При умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на это число.

Пример:

Умножим матрицу A на число 3:

3 × A = 3 × | 2  1 | = | 6   3 |
            | 4  5 |   | 12  15 |

Умножение матриц

Умножение матриц — более сложная операция. Перемножить можно матрицы A (размер m×n) и B (размер n×p), если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Элемент результирующей матрицы C в позиции (i,j) вычисляется как сумма произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B.

Пример:

A = | 1  2 |     B = | 5  6 |
    | 3  4 |         | 7  8 |

C = A × B = | 1×5+2×7  1×6+2×8 | = | 19  22 |
            | 3×5+4×7  3×6+4×8 |   | 43  50 |

Важно: умножение матриц не коммутативно, то есть A×B ≠ B×A в большинстве случаев.

Транспонирование матрицы

Транспонирование — это операция, при которой строки становятся столбцами, а столбцы — строками. Обозначается как A^T^.

Пример:

A = | 1  2  3 |     A^T = | 1  4 |
    | 4  5  6 |           | 2  5 |
                           | 3  6 |

Определитель матрицы

Определитель (детерминант) — это числовая характеристика квадратной матрицы. Обозначается как det(A) или |A|.

Для матрицы 2×2:

A = | a  b |
    | c  d |

det(A) = ad - bc

Пример:

A = | 3  5 |
    | 2  4 |

det(A) = 3×4 - 5×2 = 12 - 10 = 2

Для матрицы 3×3:

Используется правило Саррюса или разложение по строке/столбцу:

A = | a  b  c |
    | d  e  f |
    | g  h  i |

det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Пример:

A = | 1  2  3 |
    | 0  1  4 |
    | 5  6  0 |

det(A) = 1×(1×0 - 4×6) - 2×(0×0 - 4×5) + 3×(0×6 - 1×5)
       = 1×(-24) - 2×(-20) + 3×(-5)
       = -24 + 40 - 15 = 1

Обратная матрица

Обратная матрица A^-1^ существует только для квадратных невырожденных матриц (det(A) ≠ 0).

Свойство: A × A^-1^ = E, где E — единичная матрица.

Для матрицы 2×2:

A = | a  b |          A^-1 = 1/det(A) × |  d  -b |
    | c  d |                            | -c   a |

Пример:

A = | 3  5 |
    | 2  4 |

det(A) = 2 (рассчитано выше)

A^-1 = 1/2 × |  4  -5 | = |  2   -2.5 |
             | -2   3 |   | -1    1.5 |

Для матриц большего размера используются метод Гаусса или алгебраических дополнений.

Как пользоваться калькулятором матриц

1. Выберите операцию: сложение, умножение, определитель, обратная матрица и т.д.
2. Укажите размерность матрицы (количество строк и столбцов).
3. Введите значения элементов матрицы в соответствующие поля.
4. Если операция требует две матрицы, заполните обе.
5. Нажмите кнопку “Рассчитать” — калькулятор мгновенно выдаст результат.

Основные термины

Типичные ошибки при работе с матрицами

• Неверная размерность: попытка сложить или умножить матрицы несовместимых размеров.
• Путаница в порядке умножения: помните, что A×B ≠ B×A.
• Ошибки в вычислении определителя: внимательно следите за знаками при разложении.
• Попытка найти обратную матрицу при det(A) = 0: в этом случае обратной матрицы не существует.

Применение матриц

Матричные вычисления используются в:

• Компьютерной графике — для трансформаций объектов (поворот, масштабирование, сдвиг)
• Машинном обучении — для работы с нейронными сетями и обработки данных
• Физике — в квантовой механике и теории относительности
• Экономике — для моделирования систем и анализа данных
• Криптографии — в алгоритмах шифрования

Советы для эффективной работы

• Всегда проверяйте размерность матриц перед выполнением операций.
• Используйте калькулятор для проверки промежуточных результатов при ручных вычислениях.
• Для больших матриц (более 4×4) лучше использовать программные средства.
• Сохраняйте точность вычислений — округляйте только финальный результат.

Дисклеймер: Калькулятор предназначен для образовательных и вспомогательных целей. Для критически важных расчетов рекомендуется дополнительная проверка результатов.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.