Посчитать логарифм онлайн: калькулятор с решением

Что такое логарифм

Логарифм числа b по основанию a — это показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Математически: если aˣ = b, то x = logₐ(b). Логарифмы используются для решения показательных уравнений, в экономике (сложные проценты), физике (затухание сигнала), информатике (сложность алгоритмов) и других областях.

Основные обозначения

• logₐ(b) — логарифм b по основанию a
• lg(b) или log₁₀(b) — десятичный логарифм (основание 10)
• ln(b) или logₑ(b) — натуральный логарифм (основание e ≈ 2.71828)
• log₂(b) — двоичный логарифм (основание 2), распространён в информатике

Как пользоваться калькулятором

1. Введите число (аргумент логарифма) — положительное действительное число больше нуля
2. Укажите основание логарифма — положительное число, не равное 1
3. Нажмите кнопку расчёта
4. Получите результат с пошаговым решением и проверкой

Калькулятор поддерживает десятичные дроби, автоматически определяет специальные случаи (lg, ln, log₂) и показывает промежуточные вычисления.

Формулы и свойства логарифмов

Основное логарифмическое тождество

aˡᵒᵍᵃ⁽ᵇ⁾ = b

Это определение логарифма: основание в степени логарифма даёт исходное число.

Свойства логарифмов

Логарифм произведения:
logₐ(b × c) = logₐ(b) + logₐ(c)

Логарифм частного:
logₐ(b / c) = logₐ(b) − logₐ(c)

Логарифм степени:
logₐ(bⁿ) = n × logₐ(b)

Формула перехода к другому основанию:
logₐ(b) = logₓ(b) / logₓ(a)

Это позволяет вычислять любой логарифм через десятичный или натуральный.

Частные случаи

• logₐ(1) = 0 (любое число в нулевой степени равно 1)
• logₐ(a) = 1 (число в первой степени равно самому себе)
• logₐ(aⁿ) = n
• log₁₀(10ⁿ) = n
• ln(eⁿ) = n

Методы вычисления

Точный расчёт для степеней

Если число представимо как степень основания, логарифм вычисляется точно:

• log₂(64) = 6, потому что 2⁶ = 64
• log₅(125) = 3, потому что 5³ = 125
• lg(1000) = 3, потому что 10³ = 1000

Переход к десятичным логарифмам

Для произвольных чисел используйте формулу перехода:

logₐ(b) = lg(b) / lg(a)

Пример: вычислить log₃(20)

1. lg(20) ≈ 1.301
2. lg(3) ≈ 0.477
3. log₃(20) = 1.301 / 0.477 ≈ 2.727

Использование натурального логарифма

Альтернатива через ln:

logₐ(b) = ln(b) / ln(a)

Пример: вычислить log₇(50)

1. ln(50) ≈ 3.912
2. ln(7) ≈ 1.946
3. log₇(50) = 3.912 / 1.946 ≈ 2.010

Примеры вычислений

Пример 1: Десятичный логарифм

Задача: посчитать lg(500)

Решение:
lg(500) = lg(5 × 100) = lg(5) + lg(100) = 0.699 + 2 = 2.699

Проверка: 10²·⁶⁹⁹ ≈ 500

Пример 2: Натуральный логарифм

Задача: вычислить ln(20)

Решение:
ln(20) = ln(4 × 5) = ln(4) + ln(5) = 1.386 + 1.609 = 2.996

Проверка: e²·⁹⁹⁶ ≈ 20

Пример 3: Произвольное основание

Задача: найти log₄(256)

Решение:
256 = 4⁴, следовательно log₄(256) = 4

Альтернатива через переход:
log₄(256) = lg(256) / lg(4) = 2.408 / 0.602 = 4

Пример 4: Логарифм дроби

Задача: вычислить log₂(0.125)

Решение:
0.125 = 1/8 = 1/2³ = 2⁻³
log₂(2⁻³) = −3

Пример 5: Сложный случай

Задача: найти log₅(87)

Решение через переход:
log₅(87) = lg(87) / lg(5) = 1.940 / 0.699 ≈ 2.775

Проверка: 5²·⁷⁷⁵ ≈ 87.04 ✓

Применение логарифмов

Экономика и финансы

Расчёт времени удвоения капитала при сложном проценте:
t = ln(2) / ln(1 + r/100)

Для 8% годовых: t = 0.693 / ln(1.08) ≈ 9 лет

Физика и химия

• pH раствора: pH = −lg[H⁺]
• Уровень звука в децибелах: L = 10 × lg(I / I₀)
• Период полураспада: t₁/₂ = ln(2) / λ

Информатика

• Сложность алгоритмов: O(log n) для бинарного поиска
• Глубина сбалансированного дерева: log₂(n)
• Энтропия информации: H = −Σ pᵢ × log₂(pᵢ)

Биология

Модель роста популяции: N(t) = N₀ × eʳᵗ
Время удвоения: t₂ = ln(2) / r

Таблица логарифмов распространённых чисел

Часто встречающиеся ошибки

Логарифм суммы ≠ сумма логарифмов:
logₐ(b + c) ≠ logₐ(b) + logₐ(c)

Неправильное применение степени:
(logₐ(b))ⁿ ≠ logₐ(bⁿ)
Верно: logₐ(bⁿ) = n × logₐ(b)

Путаница оснований:
lg(100) = 2, но ln(100) ≈ 4.605

Деление на логарифм:
logₐ(b) / logₐ(c) ≠ logₐ(b/c)
Верно: logₐ(b/c) = logₐ(b) − logₐ(c)

Ограничения и особые случаи

• Аргумент: только положительные числа (b > 0)
• Основание: положительное, не равное 1 (a > 0, a ≠ 1)
• При a > 1: логарифм возрастает (большему числу соответствует больший логарифм)
• При 0 < a < 1: логарифм убывает
• Логарифм нуля: не определён (−∞ в пределе)
• Отрицательные числа: в действительных числах логарифм не существует

Справочная информация

Исторический контекст

Логарифмы изобрёл шотландский математик Джон Непер в начале XVII века для упрощения астрономических вычислений. До появления калькуляторов таблицы логарифмов были основным инструментом для умножения и деления больших чисел.

Математическая запись

В научной литературе встречаются различные обозначения:

• Русская традиция: log, lg, ln
• Англоязычная: log₁₀ или просто log для десятичного, ln для натурального
• Программирование: log(), log10(), log2(), ln()

Примечание: результаты вычислений имеют погрешность округления. Для критических расчётов проверяйте точность и используйте специализированное ПО. Калькулятор предназначен для образовательных и бытовых целей.

Часто задаваемые вопросы

Что ещё может пригодиться после

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.